Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Una compañía envasa las pastas en cajas de 250 g, 500 g y 1 kg. Cierto día se envasaron 65 cajas en total, haciendo 5 cajas más de tamaño pequeño (250 g) que de tamaño mediano (500 g). Sabiendo que el precio del kilo de pastas es de 24 euros y que el importe total de las pastas envasadas ese día asciende a 720 euros, ¿cuántas cajas de cada tipo han envasado ese día?

i) Plantee el sistema de ecuaciones lineales. (1 punto)

ii) Resuelva el sistema. Interprete la solución en el contexto del problema. (1.5 puntos)

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{lineales.}}(1\text{ punto})$

Se llama $x$ al número de cajas de 250 g, $y$ al de cajas de 500 g y $z$ al de cajas de 1 kg.

Se ordena la información del enunciado en una tabla.

$$	$\text{Cajas}$	$\text{Kilos de pasta}$	$\text{Importe (€)}$
Cajas de 250 g (x)	x	0{,}25x	6x
Cajas de 500 g (y)	y	0{,}5y	12y
Cajas de 1 kg (z)	z	z	24z

Ese día se envasaron 65 cajas en total $\Rightarrow$ $x+y+z=65$.

Se hicieron 5 cajas más de tamaño pequeño que de tamaño mediano $\Rightarrow$ $x=y+5$, es decir, $x-y=5$.

El kilo de pastas cuesta 24 euros y el importe total asciende a 720 euros $\Rightarrow$ $24(\mathrm{0,25}x+\mathrm{0,5}y+z)=720$, que dividiendo entre 24 queda $\mathrm{0,25}x+\mathrm{0,5}y+z=30$ y multiplicando por 4, $x+2y+4z=120$.

El sistema de ecuaciones lineales es:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=65\\ x-y=5\\ x+2y+4z=120\end{array}$

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{Resuelva}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema.}}\mathbf{\text{Interprete}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{contexto}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{problema.}}(\mathrm{1,5}\text{ puntos})$

Se resuelve por sustitución. De la segunda ecuación se despeja $x$:

$x=y+5$

Se sustituye en la primera ecuación:

$(y+5)+y+z=65\Rightarrow 2y+z=60\Rightarrow z=60-2y$

Se sustituyen ambas en la tercera:

$(y+5)+2y+4(60-2y)=120$

$y+5+2y+240-8y=120$

$-5y+245=120\Rightarrow -5y=-125\Rightarrow y=25$

Se deshacen los cambios:

$x=25+5=30$

$z=60-2\cdot 25=10$

Se comprueba la solución en el enunciado: en total hay $30+25+10=65$ cajas, y los kilos envasados son $\mathrm{0,25}\cdot 30+\mathrm{0,5}\cdot 25+10=\mathrm{7,5}+\mathrm{12,5}+10=30$ kg, que a 24 euros el kilo dan $30\cdot 24=720$ euros.

Ese día se envasaron 30 cajas de 250 g, 25 cajas de 500 g y 10 cajas de 1 kg.