Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

i) Clasifique el siguiente sistema en función del número de soluciones y resuélvalo utilizando el método de Gauss. (7 puntos)

$\{\begin{array}{l}x+y+3z=1\\ 4x+3y+5z=5\\ 2x+y-z=3\end{array}$

ii) Sean las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 2\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}-4& -2\\ k& -6\end{array}\right)$. Determine el valor que debe tomar el parámetro $k$ para que el producto de ambas matrices conmute. (3 puntos)

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Clasifique}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{siguiente}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{soluciones}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{resu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lvalo}}\mathbf{\text{utilizando}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{todo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Gauss.}}(7\text{ puntos})$

Se escribe la matriz ampliada del sistema y se triangula.

$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 3& 1\\ 4& 3& 5& 5\\ 2& 1& -1& 3\end{array}\right)$

Se hacen ceros en la primera columna con $F_2-4F_1$ y $F_3-2F_1$:

$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 3& 1\\ 0& -1& -7& 1\\ 0& -1& -7& 1\end{array}\right)$

Las filas segunda y tercera son iguales, así que con $F_3-F_2$ desaparece una de ellas:

$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 3& 1\\ 0& -1& -7& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

El rango de la matriz de coeficientes y el de la ampliada valen los dos 2, y el número de incógnitas es 3:

$\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=2<3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

El sistema es compatible indeterminado, con infinitas soluciones que dependen de un parámetro.

Se toma $z=\lambda$ y se despeja de abajo arriba.

De la segunda ecuación:

$-y-7\lambda =1\Rightarrow y=-1-7\lambda$

De la primera:

$x+y+3\lambda =1\Rightarrow x=1-(-1-7\lambda )-3\lambda =2+4\lambda$

La solución del sistema es

$\{\begin{array}{l}x=2+4\lambda \\ y=-1-7\lambda \\ z=\lambda \end{array}\text{con }\lambda \in \mathbb{R}$



Que el producto conmute significa que $AB=BA$, así que se calculan los dos productos y se igualan elemento a elemento.

$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-4& -2\\ k& -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-12-k& -6+6\\ -4+2k& -2-12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-12-k& 0\\ -4+2k& -14\end{array}\right)$

$B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}-4& -2\\ k& -6\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-12-2& 4-4\\ 3k-6& -k-12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-14& 0\\ 3k-6& -k-12\end{array}\right)$

Igualando las dos matrices:

$\{\begin{array}{l}-12-k=-14\\ -4+2k=3k-6\\ -14=-k-12\end{array}$

De la primera ecuación, $k=2$; de la segunda, $-4+6=2$ y $3\cdot 2-6=0$... se comprueba directamente que $k=2$ satisface las tres.

Se comprueba el resultado:

$A\cdot B=B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}-14& 0\\ 0& -14\end{array}\right)$

El parámetro debe valer $k=2$.