Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Una empresa dedicada a deportes de montaña vende sesiones individuales de senderismo, rápel y ciclismo de montaña. Un día concreto, la empresa vende en total 45 sesiones. Los precios por sesión y persona de cada una de estas tres actividades son 40 euros, 20 euros y 60 euros, respectivamente, recaudando la empresa un total de 1700 euros ese día. Si por cada persona que elige rápel hay tres que eligen senderismo, ¿cuántas personas han realizado cada actividad?

i) Plantee el sistema de ecuaciones lineales. (3 puntos)

ii) Resuelva el sistema e interprete la solución en el contexto del problema. (7 puntos)

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{lineales.}}(3\text{ puntos})$

Se llama $x$ al número de personas que hacen senderismo, $y$ a las que hacen rápel y $z$ a las que hacen ciclismo de montaña.

Se ordena la información del enunciado en una tabla.

$$	$\text{Sesiones}$	$\text{Recaudaci}\acute{\text{o}}\text{n (€)}$
Senderismo (x)	x	40x
Rápel (y)	y	20y
Ciclismo (z)	z	60z
Totales	x+y+z	40x+20y+60z

La empresa vende en total 45 sesiones $\Rightarrow$ $x+y+z=45$.

La recaudación total es de 1700 euros $\Rightarrow$ $40x+20y+60z=1700$, que dividiendo entre 20 queda $2x+y+3z=85$.

Por cada persona que elige rápel hay tres que eligen senderismo $\Rightarrow$ $x=3y$.

El sistema de ecuaciones lineales es:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=45\\ 2x+y+3z=85\\ x=3y\end{array}$

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{Resuelva}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{interprete}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{contexto}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{problema.}}(7\text{ puntos})$

Se resuelve por sustitución. Se sustituye $x=3y$ en las dos primeras ecuaciones:

$3y+y+z=45\Rightarrow 4y+z=45\Rightarrow z=45-4y$

$2\cdot 3y+y+3z=85\Rightarrow 7y+3z=85$

Se sustituye $z=45-4y$ en la última:

$7y+3(45-4y)=85$

$7y+135-12y=85\Rightarrow -5y=-50\Rightarrow y=10$

Se deshacen los cambios:

$x=3\cdot 10=30$

$z=45-4\cdot 10=5$

Se comprueba la solución: $30+10+5=45$ sesiones y una recaudación de $40\cdot 30+20\cdot 10+60\cdot 5=1200+200+300=1700$ euros.

Ese día realizaron senderismo 30 personas, rápel 10 personas y ciclismo de montaña 5 personas.