Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

La enóloga de una bodega ha determinado que el porcentaje de alcohol presente en sus botellas de vino sigue una distribución normal con una desviación típica de 0,53 %. Una muestra de 120 botellas, escogidas al azar, arroja un valor promedio para el porcentaje de alcohol por botella de 12,05 %. [2,5 puntos]

a) Obtenga el intervalo de confianza del 95 % para el valor promedio del porcentaje de alcohol por botella. [1,25 puntos]

b) ¿Cuál es el número mínimo de botellas que habría que considerar para que el error cometido al estimar el valor medio del porcentaje de alcohol por botella, con un nivel de confianza del 97,5 %, fuese de 0,1 %? [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{95}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{promedio}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{porcentaje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{alcohol}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{botella.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El porcentaje de alcohol sigue una distribución normal de desviación típica conocida, $\sigma =\mathrm{0,53}$. Para muestras de tamaño $n$, la media muestral se distribuye según

$\bar{X}\sim N(\mu ;{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$

y el intervalo de confianza para la media poblacional es

$(\bar{x}-z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}},\bar{x}+z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$

Los datos de la muestra son $n=120$ y $\bar{x}=\mathrm{12,05}$. Con un nivel de confianza del 95 % se tiene $\alpha =\mathrm{0,05}$, y la tabla da $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$, porque $P(Z\le \mathrm{1,96})=\mathrm{0,9750}$.



${\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,53}}{\sqrt{120}}}=\mathrm{0,048382}$

$E=\mathrm{1,96}\cdot \mathrm{0,048382}=\mathrm{0,0948}$

$(\mathrm{12,05}-\mathrm{0,0948},\mathrm{12,05}+\mathrm{0,0948})=(\mathrm{11,9552},\mathrm{12,1448})$

Con un nivel de confianza del 95 %, el porcentaje medio de alcohol por botella está entre $\mathrm{11,9552}$ y $\mathrm{12,1448}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{botellas}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{habr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{considerar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{cometido}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{estimar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{porcentaje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{alcohol}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{botella,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{97,5}}\mathbf{\text{\%,}}\mathbf{\text{fuese}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{0,1}}\mathbf{\text{\%?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se parte de la misma expresión del error y se despeja el tamaño muestral.

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\Rightarrow \sqrt{n}={\displaystyle \frac{z_{\alpha \mathrm{/}2}\sigma }{E}}\Rightarrow n={\left({\displaystyle \frac{z_{\alpha \mathrm{/}2}\sigma }{E}}\right)}^2$

Ahora el nivel de confianza es del 97,5 %, de modo que $\alpha =\mathrm{0,025}$ y se busca el valor de $z$ que deja a su izquierda $1-{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,9875}$.

$P(Z\le \mathrm{2,24})=\mathrm{0,9875}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,24}$



$n={\left({\displaystyle \frac{\mathrm{2,24}\cdot \mathrm{0,53}}{\mathrm{0,1}}}\right)}^2={\left(\mathrm{11,872}\right)}^2=\mathrm{140,9444}$

Como el tamaño de la muestra tiene que ser entero y el error no puede superar el 0,1 %, se toma el entero inmediatamente superior.

$n\ge \mathrm{140,9444}\Rightarrow n=141$

Habría que considerar como mínimo 141 botellas.