Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

Un agricultor valenciano ha determinado que el peso de sus naranjas sigue una distribución normal con desviación típica de 15 gramos. De una muestra de 100 naranjas escogidas al azar se calcula un peso medio por naranja de 210 gramos. [2,5 puntos]

a) Obtenga el intervalo de confianza del 93 % para el peso medio de una naranja. [1,25 puntos]

b) ¿Cuál es el número mínimo de naranjas que habría que considerar para que el error cometido al estimar el peso medio por naranja, con un nivel de confianza del 97 %, fuese de 2 gramos? [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{93}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{peso}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{naranja.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El peso sigue una distribución normal de desviación típica conocida, $\sigma =15$ gramos. Para muestras de tamaño $n$, la media muestral se distribuye según

$\bar{X}\sim N(\mu ;{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$

y el intervalo de confianza para la media poblacional es

$(\bar{x}-z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}},\bar{x}+z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$

Los datos de la muestra son $n=100$ y $\bar{x}=210$ gramos. Con un nivel de confianza del 93 % se tiene $\alpha =\mathrm{0,07}$, y se busca en la tabla el valor de $z$ que deja a su izquierda $1-{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,965}$.

$P(Z\le \mathrm{1,81})=\mathrm{0,9649}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,81}$



$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}=\mathrm{1,81}\cdot {\displaystyle \frac{15}{\sqrt{100}}}=\mathrm{1,81}\cdot \mathrm{1,5}=\mathrm{2,715}$

$(210-\mathrm{2,715},210+\mathrm{2,715})=(\mathrm{207,285},\mathrm{212,715})$

Con un nivel de confianza del 93 %, el peso medio de una naranja está entre $\mathrm{207,285}$ y $\mathrm{212,715}$ gramos.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{naranjas}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{habr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{considerar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{cometido}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{estimar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{peso}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{naranja,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{97}}\mathbf{\text{\%,}}\mathbf{\text{fuese}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{gramos?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se parte de la misma expresión del error y se despeja el tamaño muestral.

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\Rightarrow \sqrt{n}={\displaystyle \frac{z_{\alpha \mathrm{/}2}\sigma }{E}}\Rightarrow n={\left({\displaystyle \frac{z_{\alpha \mathrm{/}2}\sigma }{E}}\right)}^2$

Ahora el nivel de confianza es del 97 %, de modo que $\alpha =\mathrm{0,03}$ y se busca el valor de $z$ que deja a su izquierda $1-{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,985}$.

$P(Z\le \mathrm{2,17})=\mathrm{0,9850}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,17}$



$n={\left({\displaystyle \frac{\mathrm{2,17}\cdot 15}{2}}\right)}^2={\left(\mathrm{16,275}\right)}^2=\mathrm{264,8756}$

Como el tamaño de la muestra tiene que ser entero y el error no puede superar los 2 gramos, se toma el entero inmediatamente superior.

$n\ge \mathrm{264,8756}\Rightarrow n=265$

Habría que considerar como mínimo 265 naranjas.