Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices:

$M=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& a\\ 0& a& 1\\ 1& 6& 5\end{array}\right)$ y $N=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 1& -1& 1\end{array}\right)$

Realice las siguientes tareas: [3 puntos]

a) Estudie para qué valores del parámetro $a$ la matriz $M$ tiene inversa. [1 punto]

b) Para $a=1$, obtenga la matriz $X$ de la siguiente ecuación: $MX=2N$. [2 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{a}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{M}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{inversa.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero, así que se calcula $\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }$ y se ve cuándo se anula.

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 0& a\\ 0& a& 1\\ 1& 6& 5\end{array}\mid$

Se desarrolla por la regla de Sarrus.

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=(5a+0+0)-(a^2+6+0)=-a^2+5a-6$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0\Rightarrow a^2-5a+6=0\Rightarrow a={\displaystyle \frac{5\pm \sqrt{25-24}}{2}}={\displaystyle \frac{5\pm 1}{2}}$

$\{\begin{array}{l}a=3\\ a=2\end{array}$

La matriz $M$ tiene inversa para todo valor de $a$ distinto de $2$ y de $3$; para $a=2$ y para $a=3$ el determinante se anula y la matriz no es invertible.



Para $a=1$ el determinante vale $\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=-1+5-6=-2\mathrm{\ne }0$, de modo que $M$ tiene inversa y se puede despejar $X$ multiplicando por la izquierda:

$MX=2N\Rightarrow M^{-1}MX=M^{-1}\cdot 2N\Rightarrow X=2M^{-1}N$

Se calcula la inversa de $M$ por el método de los adjuntos.

$M=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& 6& 5\end{array}\right)$

$\mathrm{Adj}(M)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& -1\\ 6& 4& -6\\ -1& -1& 1\end{array}\right)$

${(\mathrm{Adj}(M))}^t=\left(\begin{array}{ccc}-1& 6& -1\\ 1& 4& -1\\ -1& -6& 1\end{array}\right)$

$M^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }}}{(\mathrm{Adj}(M))}^t=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{ccc}-1& 6& -1\\ 1& 4& -1\\ -1& -6& 1\end{array}\right)$

Se calcula ahora el segundo miembro:

$2N=2\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 1& -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 2\\ 0& 4& 0\\ 2& -2& 2\end{array}\right)$

$X=M^{-1}\cdot 2N=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{ccc}-1& 6& -1\\ 1& 4& -1\\ -1& -6& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}2& 0& 2\\ 0& 4& 0\\ 2& -2& 2\end{array}\right)$

$X=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{ccc}-2-2& 24+2& -2-2\\ 2-2& 16+2& 2-2\\ -2+2& -24-2& -2+2\end{array}\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{ccc}-4& 26& -4\\ 0& 18& 0\\ 0& -26& 0\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{ccc}2& -13& 2\\ 0& -9& 0\\ 0& 13& 0\end{array}\right)$

Se comprueba el resultado multiplicando: $MX=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 2\\ 0& 4& 0\\ 2& -2& 2\end{array}\right)=2N$.

La matriz buscada es $X=\left(\begin{array}{ccc}2& -13& 2\\ 0& -9& 0\\ 0& 13& 0\end{array}\right)$.