Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2024

Dada la función $f(x)=x^3-3x+2$: [2,5 puntos]

a) Obtenga los puntos de corte con los ejes OX y OY. [0,5 puntos]

b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento. [1 punto]

c) Dibuje la región delimitada por la curva $y=f(x)$ y la recta $y=x+2$. Calcule el área de esta región. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ejes}}\mathbf{\text{OX}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{OY.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El corte con el eje OY se obtiene haciendo $x=0$.

$f(0)=0^3-3\cdot 0+2=2\Rightarrow (0,2)$

Para los cortes con el eje OX se anula la función. Se tantea $x=1$, que es raíz porque $1-3+2=0$, y se factoriza por Ruffini.

$x^3-3x+2=(x-1)(x^2+x-2)=(x-1)(x-1)(x+2)=(x-1{)}^2(x+2)$

$(x-1{)}^2(x+2)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=1\\ x=-2\end{array}$

La gráfica corta al eje OY en $(0,2)$ y al eje OX en $(-2,0)$ y $(1,0)$; en este último la raíz es doble, de modo que la curva toca el eje sin atravesarlo.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se deriva la función y se anula la derivada para localizar los puntos críticos.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-3$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 3x^2=3\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$

Se estudia el signo de la derivada antes, entre y después de los dos puntos críticos.

$f^{\mathrm{\prime }}(-2)=12-3=9>0$

$f^{\mathrm{\prime }}(0)=-3<0$

$f^{\mathrm{\prime }}(2)=12-3=9>0$



La función crece en $(-\mathrm{\infty },-1)\cup (1,+\mathrm{\infty })$ y decrece en $(-1,1)$.

En $x=-1$ pasa de crecer a decrecer, luego hay un máximo relativo en $(-1,4)$; en $x=1$ pasa de decrecer a crecer, luego hay un mínimo relativo en $(1,0)$.



Primero se buscan los puntos donde se cortan la curva y la recta, que son los límites de integración.

$x^3-3x+2=x+2\Rightarrow x^3-4x=0\Rightarrow x(x^2-4)=0$

$\{\begin{array}{l}x=-2\\ x=0\\ x=2\end{array}$

Hay tres cortes, de modo que el recinto tiene dos trozos y hay que averiguar qué función va por encima en cada uno.

$\text{En }(-2,0):f(-1)-g(-1)=4-1=3>0\Rightarrow f\text{ va por encima}$

$\text{En }(0,2):f(1)-g(1)=0-3=-3<0\Rightarrow g\text{ va por encima}$



Se calcula cada trozo por separado, con la diferencia $f(x)-g(x)=x^3-4x$.

$A_1={\int }_{-2}^0(x^3-4x)dx={[{\displaystyle \frac{x^4}{4}}-2x^2]}_{-2}^0=0-(4-8)=4$

$A_2={\int }_0^2(4x-x^3)dx={[2x^2-{\displaystyle \frac{x^4}{4}}]}_0^2=8-4=4$

$A=A_1+A_2=4+4=8{\text{u}}^2$

El área de la región delimitada por la curva y la recta es de 8 unidades de área.