Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2020

a) Calcule la derivada de las siguientes funciones:

$f(x)=(-5+x^2{)}^2\cdot e^{3x}$, $g(x)={\displaystyle \frac{\ln (x^3-5x)}{1-x^2}}$ (1,2 puntos)

b) Calcule el área del recinto acotado por la gráfica de $h(x)=-x^2+2x+3$ y el eje de abscisas. (1,3 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{derivada}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{siguientes}}\mathbf{\text{funciones:}}$



La función $f$ es un producto; aplicamos la regla del producto y, en el primer factor, la regla de la cadena.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2(x^2-5)\cdot 2x\cdot e^{3x}+{(x^2-5)}^2\cdot 3e^{3x}$

Sacamos factor común $(x^2-5)e^{3x}$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x^2-5)e^{3x}[4x+3(x^2-5)]=(x^2-5)e^{3x}(3x^2+4x-15)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x^2-5)(3x-5)(x+3)e^{3x}$

La función $g$ es un cociente; aplicamos la regla del cociente y la regla de la cadena en el logaritmo.

$g^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{3x^2-5}{x^3-5x}}\cdot (1-x^2)-\ln (x^3-5x)\cdot (-2x)}{{(1-x^2)}^2}}$

$g^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{3x^2-5}{(x^3-5x)(1-x^2)}}+{\displaystyle \frac{2x\ln (x^3-5x)}{{(1-x^2)}^2}}$



Buscamos los cortes con el eje de abscisas, que son los límites de integración.

$-x^2+2x+3=0\Rightarrow x^2-2x-3=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{2\pm \sqrt{4+12}}{2}}={\displaystyle \frac{2\pm 4}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=-1\\ x=3\end{array}$

Como el coeficiente principal es negativo, la parábola tiene las ramas hacia abajo y entre sus dos raíces queda por encima del eje. Su vértice es $(1,4)$.



$\acute{\text{A}}\text{rea}={\int }_{-1}^3(-x^2+2x+3)dx={[-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+x^2+3x]}_{-1}^3$

$=(-9+9+9)-({\displaystyle \frac{1}{3}}+1-3)=9-(-{\displaystyle \frac{5}{3}})={\displaystyle \frac{32}{3}}$

El área del recinto acotado es ${\displaystyle \frac{32}{3}}\approx \mathrm{10,67}$ unidades cuadradas.