Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2020

Se considera la función

$f(x)=\{\begin{array}{ll}-x+2& \text{si }x\le 2\\ -x^2+6x-8& \text{si }2<x<4\\ {\displaystyle \frac{x-3}{x}}& \text{si }x\ge 4\end{array}$

a) Estudie la continuidad y derivabilidad de $f$ en su dominio. (1,25 puntos)

b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f$. (0,75 puntos)

c) Calcule ${\displaystyle {\int }_2^{3}f(x)dx}$. (0,5 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{continuidad}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{derivabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathit{f}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{dominio.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Las dos primeras ramas son polinómicas y la tercera es racional, con el único punto problemático en $x=0$, que no pertenece a $[4,+\mathrm{\infty })$. Así pues, hay que estudiar únicamente los puntos $x=2$ y $x=4$, donde cambia la expresión.

En $x=2$:

${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=-2+2=0{\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=-4+12-8=0$

Los dos límites laterales coinciden con $f(2)=0$, luego la función es continua en $x=2$.

En $x=4$:

${\lim }_{x\to 4^{-}}f(x)=-16+24-8=0{\lim }_{x\to 4^{+}}f(x)={\displaystyle \frac{4-3}{4}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$

Los límites laterales son distintos, luego la función no es continua en $x=4$: presenta una discontinuidad de salto finito, de amplitud ${\displaystyle \frac{1}{4}}$.

La función es continua en $\mathbb{R}-\{4\}$.

Para la derivabilidad calculamos las derivadas laterales en $x=2$, que es donde la función sí es continua.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\{\begin{array}{ll}-1& \text{si }x<2\\ -2x+6& \text{si }2<x<4\\ {\displaystyle \frac{3}{x^2}}& \text{si }x>4\end{array}$

$f^{\mathrm{\prime }}(2^{-})=-1f^{\mathrm{\prime }}(2^{+})=-4+6=2$

Las derivadas laterales son distintas, así que la función no es derivable en $x=2$: la gráfica presenta ahí un punto anguloso. En $x=4$ tampoco es derivable, porque ni siquiera es continua.

La función es derivable en $\mathbb{R}-\{2,4\}$.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathit{f}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Estudiamos el signo de la derivada rama a rama.

En $(-\mathrm{\infty },2)$ la derivada vale $-1<0$, luego la función decrece.

En $(2,4)$ igualamos a cero: $-2x+6=0\Rightarrow x=3$, que pertenece al intervalo.

En $(4,+\mathrm{\infty })$ la derivada vale ${\displaystyle \frac{3}{x^2}}>0$, luego la función crece.



$\{\begin{array}{l}{f}^{\mathrm{\prime }}(0)=-1<0\\ f^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{2,5})=-5+6=1>0\\ f^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{3,5})=-7+6=-1<0\\ f^{\mathrm{\prime }}(5)={\displaystyle \frac{3}{25}}>0\end{array}$

La función decrece en $(-\mathrm{\infty },2)\cup (3,4)$ y crece en $(2,3)\cup (4,+\mathrm{\infty })$. En $x=3$ hay un máximo relativo, $f(3)=1$.



En el intervalo $[2,3]$ la función viene dada por la segunda rama, así que no hay que partir la integral.

${\int }_2^3(-x^2+6x-8)dx={[-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+3x^2-8x]}_2^3$

$=(-9+27-24)-(-{\displaystyle \frac{8}{3}}+12-16)=-6-(-{\displaystyle \frac{20}{3}})={\displaystyle \frac{-18+20}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$

El valor de la integral es ${\displaystyle \frac{2}{3}}\approx \mathrm{0,67}$.