Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2021

Se considera la función

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{2}^{x+1}& \text{si }x<0\\ x^2-2x& \text{si }x\ge 0\end{array}$

a) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función $f$ en su dominio. (1 punto)

b) Estudie la monotonía de la función $f$ y calcule el mínimo. (0,8 puntos)

c) Calcule ${\displaystyle {\int }_{-2}^{2}f(x)dx}$. (0,7 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{continuidad}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{derivabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathit{f}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{dominio.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La primera rama es una función exponencial y la segunda una polinómica, así que ambas son continuas y derivables en todo $\mathbb{R}$. El único punto que hay que estudiar es $x=0$, donde cambia la expresión.

${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{-}}{2}^{x+1}=2^1=2$

${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}(x^2-2x)=0$

Los límites laterales son distintos, luego la función no es continua en $x=0$: presenta ahí una discontinuidad de salto finito, de amplitud $2$.

Al no ser continua en $x=0$, tampoco puede ser derivable en ese punto.

La función es continua y derivable en $\mathbb{R}-\{0\}$.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{monoton}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathit{f}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo.}}\mathbf{\text{(0,8}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Derivamos cada rama por separado.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\{\begin{array}{ll}{2}^{x+1}\ln 2& \text{si }x<0\\ 2x-2& \text{si }x>0\end{array}$

En la primera rama, $2^{x+1}>0$ y $\ln 2>0$, así que la derivada es siempre positiva y la función crece en $(-\mathrm{\infty },0)$.

En la segunda rama igualamos a cero.

$2x-2=0\Rightarrow x=1$



$\{\begin{array}{l}{f}^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{0,5})=1-2=-1<0\\ f^{\mathrm{\prime }}(2)=4-2=2>0\end{array}$

La función crece en $(-\mathrm{\infty },0)$, decrece en $(0,1)$ y crece en $(1,+\mathrm{\infty })$.

Como en $x=1$ pasa de decrecer a crecer, hay un mínimo relativo.

$f(1)=1-2=-1$

Además es el mínimo absoluto de la función, porque en la primera rama $2^{x+1}>0$ y en la segunda ningún valor baja de $-1$.

El mínimo es el punto $(1,-1)$.



Como en $x=0$ cambia la expresión de la función, partimos la integral en ese punto.

${\int }_{-2}^{2}f(x)dx={\int }_{-2}^0{2}^{x+1}dx+{\int }_0^2(x^2-2x)dx$

Para la primera usamos que una primitiva de $a^x$ es ${\displaystyle \frac{a^x}{\ln a}}$.

${\int }_{-2}^0{2}^{x+1}dx={\left[{\displaystyle \frac{2^{x+1}}{\ln 2}}\right]}_{-2}^0={\displaystyle \frac{2}{\ln 2}}-{\displaystyle \frac{2^{-1}}{\ln 2}}={\displaystyle \frac{2-{\displaystyle \frac{1}{2}}}{\ln 2}}={\displaystyle \frac{3}{2\ln 2}}\approx \mathrm{2,164}$

${\int }_0^2(x^2-2x)dx={[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-x^2]}_0^2={\displaystyle \frac{8}{3}}-4=-{\displaystyle \frac{4}{3}}\approx -\mathrm{1,333}$

Sumamos las dos.

${\int }_{-2}^{2}f(x)dx={\displaystyle \frac{3}{2\ln 2}}-{\displaystyle \frac{4}{3}}\approx \mathrm{0,831}$