Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2021

a) Calcule la derivada de las siguientes funciones:

$f(x)=\ln \left({\displaystyle \frac{x-1}{x+1}}\right)$, $g(x)=x^3\cdot e^{2x^2}$ (1 punto)

b) Represente gráficamente la parábola $h(x)=x^2+x+1$, indicando el vértice y los puntos de corte con los ejes coordenados. (0,7 puntos)

c) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de $h(x)=x^2+x+1$, el eje de abscisas y las rectas $x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ y $x=0$. (0,8 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{derivada}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{siguientes}}\mathbf{\text{funciones:}}$



Para derivar $f$ conviene aplicar antes la propiedad del logaritmo de un cociente.

$f(x)=\ln (x-1)-\ln (x+1)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{x-1}}-{\displaystyle \frac{1}{x+1}}={\displaystyle \frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}}={\displaystyle \frac{2}{x^2-1}}$

La función $g$ es un producto; aplicamos la regla del producto y la regla de la cadena en la exponencial.

$g^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2{e}^{2x^2}+x^3\cdot 4x{e}^{2x^2}$

Sacamos factor común $x^2{e}^{2x^2}$.

$g^{\mathrm{\prime }}(x)=x^2{e}^{2x^2}(3+4x^2)$



Corte con el eje $OY$: hacemos $x=0$ y obtenemos $h(0)=1$, luego el punto es $(0,1)$.

Cortes con el eje $OX$: resolvemos $x^2+x+1=0$.

$\mathrm{\Delta }=1^2-4\cdot 1\cdot 1=-3<0$

El discriminante es negativo, así que la parábola no corta al eje de abscisas.

El vértice se obtiene anulando la derivada.

$h^{\mathrm{\prime }}(x)=2x+1=0\Rightarrow x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

$h(-{\displaystyle \frac{1}{2}})={\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}+1={\displaystyle \frac{3}{4}}$

El vértice es $V(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{3}{4}})$, y como el coeficiente principal es positivo las ramas van hacia arriba.





Por el apartado anterior, la parábola no corta al eje de abscisas y su valor mínimo es ${\displaystyle \frac{3}{4}}>0$, luego en todo el intervalo $[-{\displaystyle \frac{1}{2}},0]$ la función es positiva y el recinto queda por encima del eje.



$\acute{\text{A}}\text{rea}={\int }_{-1\mathrm{/}2}^0(x^2+x+1)dx={[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+x]}_{-1\mathrm{/}2}^0$

$=0-(-{\displaystyle \frac{1}{24}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}-{\displaystyle \frac{1}{2}})=-\left({\displaystyle \frac{-1+3-12}{24}}\right)={\displaystyle \frac{10}{24}}={\displaystyle \frac{5}{12}}$

El área del recinto es ${\displaystyle \frac{5}{12}}\approx \mathrm{0,42}$ unidades cuadradas.