Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2022

a) Se considera la función $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$, con $a$, $b$ y $c$ números reales. Calcule los valores $a$, $b$ y $c$, sabiendo que la gráfica de $f$ posee un extremo relativo en el punto de abscisa $x=3$ y que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $P(0,18)$ es $-3$. (1,25 puntos)

b) Calcule el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de la función $g(x)=x^3-4x^2-3x+18$ y el eje de abscisas. (1,25 puntos)

Traducimos las tres condiciones del enunciado. Derivamos primero la función.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+2ax+b$

La gráfica pasa por el punto $P(0,18)$:

$f(0)=18\Rightarrow c=18$

La pendiente de la recta tangente en $P(0,18)$ es $-3$, y la pendiente de la tangente es el valor de la derivada:

$f^{\mathrm{\prime }}(0)=-3\Rightarrow b=-3$

Hay un extremo relativo en $x=3$, luego ahí se anula la derivada:

$f^{\mathrm{\prime }}(3)=0\Rightarrow 27+6a+b=0$

Sustituyendo $b=-3$:

$27+6a-3=0\Rightarrow 6a=-24\Rightarrow a=-4$

Los valores buscados son $a=-4$, $b=-3$ y $c=18$, de modo que $f(x)=x^3-4x^2-3x+18$.



Buscamos los cortes con el eje de abscisas, que son los límites de integración. Aplicando la regla de Ruffini con $x=-2$:

$x^3-4x^2-3x+18=(x+2)(x^2-6x+9)=(x+2)(x-3{)}^2$

$(x+2)(x-3{)}^2=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=-2\\ x=3\text{ (ra}\acute{\text{ı}}\text{z doble)}\end{array}$

En $x=3$ la raíz es doble, de modo que la curva es tangente al eje y no lo atraviesa: el único recinto acotado va de $x=-2$ a $x=3$. Como $(x-3{)}^2\ge 0$ y $x+2>0$ en el interior de ese intervalo, la función es positiva y el recinto queda por encima del eje.



$\acute{\text{A}}\text{rea}={\int }_{-2}^3(x^3-4x^2-3x+18)dx={[{\displaystyle \frac{x^4}{4}}-{\displaystyle \frac{4x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{3x^2}{2}}+18x]}_{-2}^3$

$=({\displaystyle \frac{81}{4}}-36-{\displaystyle \frac{27}{2}}+54)-(4+{\displaystyle \frac{32}{3}}-6-36)$

$={\displaystyle \frac{99}{4}}-(-{\displaystyle \frac{82}{3}})={\displaystyle \frac{297+328}{12}}={\displaystyle \frac{625}{12}}\approx \mathrm{52,08}$

El área del recinto acotado es ${\displaystyle \frac{625}{12}}$ unidades cuadradas.