Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2020

Cuestión 5. (2 puntos) Representar gráficamente el recinto del plano limitado por las parábolas $f(x)=x^2-4x+6$ y $g(x)=-2x^2+5x+6$. Calcular su área.

Los límites de integración son las abscisas de los puntos de corte, que se obtienen igualando las dos parábolas.

$x^2-4x+6=-2x^2+5x+6\Rightarrow 3x^2-9x=0\Rightarrow 3x(x-3)=0$

$x=0;x=3$

Para saber cuál queda por encima se evalúan ambas en un punto interior, por ejemplo $x=1$.

$g(1)=9>f(1)=3$

La parábola $g$ queda por encima de $f$ en todo el intervalo $[0,3]$.



El área es la integral de la diferencia entre la función superior y la inferior.

$A={\int }_0^3[(-2x^2+5x+6)-(x^2-4x+6)]dx={\int }_0^3(-3x^2+9x)dx$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

$A={[-x^3+{\displaystyle \frac{9x^2}{2}}]}_0^3=-27+{\displaystyle \frac{81}{2}}$

$A={\displaystyle \frac{27}{2}}$

El área del recinto limitado por las dos parábolas es ${\displaystyle \frac{27}{2}}=\mathrm{13,5}$ unidades de área.