Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2022

4.Dada la función f(x) = $x^3-4x^2+3x$, se pide:
a) [0,5 puntos] Encontrar la primitiva $F$ de $f$ verificando que $F(1)=1$.
b) [2 puntos] Estudiar y representar gráficamente la función $f$ en todo su dominio. Calcular el área limitada por la curva y el eje $X$ entre $x=0$ y $x=4$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Encontrar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primitiva}}\mathbf{\text{F}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{f}}\mathbf{\text{verificando}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{F(1)}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{1.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se integra término a término:

$F(x)=\int (x^3-4x^2+3x)dx=\frac{x^4}{4}-\frac{4x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+k$

y se impone la condición, poniendo todo con denominador 12:

$F(1)=\frac{1}{4}-\frac{4}{3}+\frac{3}{2}+k=\frac{3-16+18}{12}+k=\frac{5}{12}+k=1$

$k=1-\frac{5}{12}=\frac{7}{12}$

La primitiva pedida es

$F(x)=\frac{x^4}{4}-\frac{4x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+\frac{7}{12}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Estudiar}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{representar}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{f}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{todo}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{dominio.}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{limitada}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{curva}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{eje}}\mathbf{\text{X}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{0}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{4.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

$\mathbf{\text{Dominio:}}\mathbb{R}$, por ser polinómica.

$\mathbf{\text{Cortes:}}{x}^3-4x^2+3x=x(x^2-4x+3)=x(x-1)(x-3)=0$, o sea $x=0$, $x=1$ y $x=3$.

$\mathbf{\text{Monoton}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a:}}{f}^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-8x+3=0⟹x={\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{64-36}}{6}}={\displaystyle \frac{4\pm \sqrt{7}}{3}}$

es decir, $x\approx \mathrm{0,451}$ y $x\approx \mathrm{2,215}$. La derivada es positiva, luego negativa, luego positiva:

$\text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo relativo en }(\mathrm{0,451};\mathrm{0,631})\text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo relativo en }(\mathrm{2,215};-\mathrm{2,112})$

$\mathbf{\text{Curvatura:}}{f}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6x-8=0⟹x={\displaystyle \frac{4}{3}}$, punto de inflexión en $(\frac{4}{3};-\mathrm{0,741})$.

$\mathbf{\text{Ramas}}\mathbf{\text{infinitas:}}{\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}f(x)=-\mathrm{\infty }$ y ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x)=+\mathrm{\infty }$.



En el intervalo $[0,4]$ la curva corta al eje en $x=1$ y $x=3$, así que hay tres trozos. Con $G(x)={\displaystyle \frac{x^4}{4}}-{\displaystyle \frac{4x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{3x^2}{2}}$:

$G(0)=0G(1)=\frac{5}{12}G(3)=-\frac{9}{4}G(4)=\frac{8}{3}$

${\int }_0^{1}f=\frac{5}{12}{\int }_1^{3}f=-\frac{9}{4}-\frac{5}{12}=-\frac{8}{3}{\int }_3^{4}f=\frac{8}{3}+\frac{9}{4}=\frac{59}{12}$

El trozo central queda por debajo del eje, de modo que el área es

$A=\frac{5}{12}+\frac{8}{3}+\frac{59}{12}=\frac{5+32+59}{12}=\frac{96}{12}=\mathbf{\text{8}}{\text{u}}^2$

Sale un número redondo, cosa poco frecuente y buena señal de que las tres integrales están bien.