Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2020

3. Dada la función $f(x)=\frac{a}{x+1}$, se pide:
a) [0,5 puntos] Encontrar el valor de $a$ que verifica que $F(0)=0$ y $F(1)=10\cdot ln(2)$, donde $F$ denota una primitiva de $f$.
b) [2 puntos] Suponiendo que $a=10$, estudiar y representar gráficamente la función $f$ en todo su dominio y calcular el área limitada por la curva y el eje $X$ entre $x=-3$ y $x=-2.$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Encontrar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{verifica}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{F(0)}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{0}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{F(1)}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{ln(2),}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{F}}\mathbf{\text{denota}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{primitiva}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{f.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La integral es de tipo logarítmico:

$F(x)=\int \frac{a}{x+1}dx=a\ln \mathrm{\mid }x+1\mathrm{\mid }+C$

La primera condición fija la constante:

$F(0)=a\ln 1+C=C=0$

y la segunda, el parámetro:

$F(1)=a\ln 2=10\ln 2\Rightarrow a=10$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Suponiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{10,}}\mathbf{\text{estudiar}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{representar}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{f}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{todo}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{dominio}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{limitada}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{curva}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{eje}}\mathbf{\text{X}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{-3}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{-2.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$










La función es la hipérbola

$f(x)=\frac{10}{x+1}$

$\mathbf{\text{Dominio:}}$ todos los reales salvo el que anula el denominador, $\mathbb{R}-\{-1\}$.

$\mathbf{\text{Cortes:}}$ no corta al eje $X$, porque el numerador nunca se anula; corta al eje $Y$ en $(0,10)$.





$\mathbf{\text{As}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas:}}$ la recta $x=-1$ es asíntota vertical, ya que

${\lim }_{x\to -1^{-}}f(x)=-\mathrm{\infty }{\lim }_{x\to -1^{+}}f(x)=+\mathrm{\infty }$

y la recta $y=0$ es asíntota horizontal, porque ${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}f(x)=0$.

$\mathbf{\text{Monoton}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a:}}$ la derivada

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{10}{(x+1{)}^2}$

es negativa en todo el dominio, de modo que la función es decreciente en cada una de sus dos ramas. No hay máximos ni mínimos.

Para el área, entre $x=-3$ y $x=-2$ se tiene $x+1<0$ y por tanto $f(x)<0$: la curva va por debajo del eje y el área es la integral cambiada de signo.

${\int }_{-3}^{-2}\frac{10}{x+1}dx=10[\ln \mathrm{\mid }x+1\mathrm{\mid }{]}_{-3}^{-2}=10(\ln 1-\ln 2)=-10\ln 2$

$\acute{\text{A}}\text{rea}=\mid -10\ln 2\mid =10\ln 2\approx \mathrm{6,93}{\text{u}}^2$

El valor absoluto dentro del logaritmo es imprescindible aquí: sin él, $\ln (-1)$ y $\ln (-2)$ no existirían.