Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2023

El área quemada de la región plana de la cubierta de plástico de un invernadero coincide con el área de la región acotada delimitada por las gráficas de las funciones $f(x)=(x-1{)}^2$ y $g(x)=5-2x$, donde $x$ está expresado en metros.

a) Represente gráficamente la zona deteriorada. [1 punto]

b) Para reparar la región quemada, se ha de utilizar plástico cuyo coste es de 15 euros por metro cuadrado. Si en el trabajo de reparación se desperdicia la tercera parte del plástico adquirido, ¿cuánto costará el plástico comprado? [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{zona}}\mathbf{\text{deteriorada.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La zona deteriorada es el recinto que encierran una parábola de vértice $(1,0)$ y ramas hacia arriba y una recta decreciente. Calculamos sus puntos de corte igualando las dos funciones.

$(x-1{)}^2=5-2x\Rightarrow x^2-2x+1=5-2x\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm 2$

$f(-2)=(-2-1{)}^2=9,f(2)=(2-1{)}^2=1$

Las dos gráficas se cortan en los puntos $(-2,9)$ y $(2,1)$. Entre esas dos abscisas la recta queda por encima de la parábola, como se comprueba en $x=0$: $g(0)=5$ frente a $f(0)=1$.



La zona deteriorada es el recinto sombreado, limitado por arriba por la recta $g(x)=5-2x$ y por abajo por la parábola $f(x)=(x-1{)}^2$ entre $x=-2$ y $x=2$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Para}}\mathbf{\text{reparar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{quemada,}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{utilizar}}\mathbf{\text{pl}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{stico}}\mathbf{\text{cuyo}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{15}}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{metro}}\mathbf{\text{cuadrado.}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{reparaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{desperdicia}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{tercera}}\mathbf{\text{parte}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{pl}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{stico}}\mathbf{\text{adquirido,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{costar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{pl}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{stico}}\mathbf{\text{comprado?}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Calculamos primero el área quemada como la integral definida de la diferencia entre la función que queda arriba y la que queda abajo.

$A={\int }_{-2}^2[(5-2x)-(x-1{)}^2]dx={\int }_{-2}^2(5-2x-x^2+2x-1)dx$

$A={\int }_{-2}^2(4-x^2)dx$

Aplicando la regla de Barrow:

$A={[4x-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_{-2}^2=(8-{\displaystyle \frac{8}{3}})-(-8+{\displaystyle \frac{8}{3}})=16-{\displaystyle \frac{16}{3}}={\displaystyle \frac{32}{3}}{\text{m}}^2$

Si se desperdicia la tercera parte del plástico comprado, solo se aprovechan las dos terceras partes. Llamando $P$ a los metros cuadrados adquiridos:

${\displaystyle \frac{2}{3}}P={\displaystyle \frac{32}{3}}\Rightarrow P={\displaystyle \frac{32}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{2}}=16{\text{m}}^2$

$\text{Coste}=16\cdot 15=240$

Hay que comprar $16{\text{m}}^2$ de plástico —los ${\displaystyle \frac{32}{3}}\approx \mathrm{10,67}{\text{m}}^2$ quemados más el desperdicio—, y el plástico comprado costará 240 €.