Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2026

Calcule:

a) El valor de $m$ (con $m>0$) para que el área encerrada por la función $f(x)=2x+1$ y el eje $OX$ entre $x=0$ y $x=m$ valga 20 unidades de superficie. [1,5 puntos]

b) Las asíntotas de la función: [1,5 puntos]

$g(x)={\displaystyle \frac{-2x^2+6x-4}{2(x-1{)}^2}}$

La recta $f(x)=2x+1$ es positiva en todo el intervalo $[0,m]$ con $m>0$, así que el área coincide con la integral definida y basta imponer que valga 20.

${\int }_0^m(2x+1)dx={[x^2+x]}_0^m=m^2+m$

$m^2+m=20\Rightarrow m^2+m-20=0\Rightarrow m={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{1+80}}{2}}={\displaystyle \frac{-1\pm 9}{2}}$

$\{\begin{array}{l}m=4\\ m=-5\end{array}$

Se descarta la solución negativa porque el enunciado exige $m>0$.

El valor pedido es $m=4$: el trapecio que la recta forma con el eje entre $x=0$ y $x=4$ tiene 20 unidades de superficie.





Antes de nada se factorizan numerador y denominador, porque un factor común cambiaría la respuesta.

$-2x^2+6x-4=-2(x^2-3x+2)=-2(x-1)(x-2)$

$g(x)={\displaystyle \frac{-2(x-1)(x-2)}{2(x-1{)}^2}}={\displaystyle \frac{-(x-2)}{x-1}}={\displaystyle \frac{2-x}{x-1}}(x\mathrm{\ne }1)$

Asíntotas verticales: el único valor que anula el denominador es $x=1$, y al simplificar sigue anulándolo, luego hay que estudiar el límite.

${\lim }_{x\to 1^{-}}{\displaystyle \frac{2-x}{x-1}}={\displaystyle \frac{1}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty }{\lim }_{x\to 1^{+}}{\displaystyle \frac{2-x}{x-1}}={\displaystyle \frac{1}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }$

La recta $x=1$ es asíntota vertical.

Asíntotas horizontales: numerador y denominador tienen el mismo grado, así que el límite en el infinito es el cociente de los coeficientes principales.

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{-2x^2+6x-4}{2x^2-4x+2}}={\displaystyle \frac{-2}{2}}=-1$

La recta $y=-1$ es asíntota horizontal, y al haberla no puede haber asíntota oblicua.

La función tiene una asíntota vertical, $x=1$, y una asíntota horizontal, $y=-1$.