Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2026

Considere la función real de variable real:

$f(x)=x^3+3x^2+ax+b$

a) Obtenga los valores de $a$ y $b$ para que la recta tangente a la función en el punto $(1,2)$ sea horizontal. [1 punto]

b) Si $a=-10$ y $b=0$, calcule el área delimitada por la función, el eje horizontal y las rectas $x=1$ y $x=3$. [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{y}}\mathit{b}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{tangente}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{horizontal.}}$

Que la tangente sea horizontal significa que su pendiente es cero, y la pendiente de la tangente es el valor de la derivada:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+6x+a$

$f^{\mathrm{\prime }}(1)=0\Rightarrow 3+6+a=0\Rightarrow a=-9$

Falta imponer que la curva pase por el punto, que es la segunda condición:

$f(1)=2\Rightarrow 1+3+a+b=2\Rightarrow 4-9+b=2\Rightarrow b=7$

Los valores buscados son $a=-9$ y $b=7$.



La función es ahora $f(x)=x^3+3x^2-10x$. Antes de integrar hay que localizar los cortes con el eje de abscisas dentro del intervalo, porque el área es la integral del valor absoluto:

$x^3+3x^2-10x=x(x^2+3x-10)=x(x+5)(x-2)=0\Rightarrow x=-5,x=0,x=2$

El único corte interior a $[1,3]$ es $x=2$, así que el recinto se parte en dos trozos: en $(1,2)$ la función es negativa y en $(2,3)$ positiva.



Se calcula una primitiva:

$F(x)={\displaystyle \int (x^3+3x^2-10x)dx={\displaystyle \frac{x^4}{4}}+x^3-5x^2}$

$F(1)={\displaystyle \frac{1}{4}}+1-5=-{\displaystyle \frac{15}{4}}F(2)=4+8-20=-8F(3)={\displaystyle \frac{81}{4}}+27-45={\displaystyle \frac{9}{4}}$

El primer trozo va con signo cambiado, porque la función queda por debajo del eje:

$A_1=\mid F(2)-F(1)\mid =\mid -8+{\displaystyle \frac{15}{4}}\mid ={\displaystyle \frac{17}{4}}$

$A_2=F(3)-F(2)={\displaystyle \frac{9}{4}}+8={\displaystyle \frac{41}{4}}$

$A=A_1+A_2={\displaystyle \frac{17}{4}}+{\displaystyle \frac{41}{4}}={\displaystyle \frac{58}{4}}={\displaystyle \frac{29}{2}}$

El área encerrada es $\frac{29}{2}=\mathrm{14,5}$ unidades cuadradas. Si se hubiera integrado de 1 a 3 sin partir el recinto habrían salido 6 unidades, porque los dos trozos se restarían en lugar de sumarse.