Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2025

Dada la función $f(x)=-x^3-x^2+2x$:

a) Encuentre la primitiva $F$ de $f$ para la que $F(1)=2$. [0,5 puntos]

b) ¿Qué valor toma $f$ en $x=0$? Estudie la monotonía de $f$ en $x=0$. Determine un intervalo del dominio en el que $f$ tome valores tanto positivos como negativos. ¿A partir de qué valor $f$ decrece indefinidamente? Calcule el área limitada por la función $f$ y el eje $X$ entre $x=-1$ y $x=1$. [2 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Encuentre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primitiva}}\mathbf{\text{F}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{f}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{F(1)}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{2.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se integra término a término:

$F(x)=\int (-x^3-x^2+2x)dx=-\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+x^2+C$

y se impone la condición:

$F(1)=-\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+1+C=\frac{5}{12}+C=2\Rightarrow C=\frac{19}{12}$

$F(x)=-\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+x^2+\frac{19}{12}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{toma}}\mathbf{\text{f}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{0?}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{monoton}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{0,}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{f}}\mathbf{\text{tome}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{positivos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{negativos,}}\mathbf{\text{diga}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{decrece}}\mathbf{\text{indefinidamente}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{f}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{eje}}\mathbf{\text{X}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{-1}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{1.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$










Conviene empezar factorizando la función, porque de ahí sale casi todo:

$f(x)=-x^3-x^2+2x=-x(x^2+x-2)$

$f(x)=-x(x+2)(x-1)$

Sus raíces son $x=-2$, $x=0$ y $x=1$.





$\mathbf{\text{Valor}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{origen:}}$ $f(0)=0$; la gráfica pasa por el origen.

$\mathbf{\text{Monoton}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{en}}x=0$: se deriva y se evalúa,

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-3x^2-2x+2f^{\mathrm{\prime }}(0)=2>0$

de modo que la función es creciente en $x=0$.

$\mathbf{\text{Un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{signos:}}$ vale, por ejemplo, $(-1,1)$. En efecto, el signo de $f$ se lee en la factorización: es negativa en $(-2,0)$ y positiva en $(0,1)$, así que $f(-1)=-2<0$ y $f(\mathrm{0,5})=\mathrm{0,625}>0$.

$\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{decrece}}\mathbf{\text{indefinidamente:}}$ se anula la derivada,

$-3x^2-2x+2=0\Rightarrow 3x^2+2x-2=0\Rightarrow x=\frac{-2\pm \sqrt{4+24}}{6}=\frac{-2\pm \mathrm{5,2915}}{6}$

$x_1=-\mathrm{1,22}{x}_2=\mathrm{0,55}$

Como el coeficiente principal de $f^{\mathrm{\prime }}$ es negativo, la derivada es positiva entre las dos raíces y negativa fuera. Por tanto, a partir de $x=\mathrm{0,55}$ la función decrece y ya no vuelve a crecer: decrece indefinidamente.

$\acute{\mathbf{\text{A}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{entre}}x=-1\mathbf{\text{y}}x=1$: la función cambia de signo en $x=0$, así que la integral hay que partirla en dos y tomar el valor absoluto de cada trozo. Con la primitiva

$G(x)=-\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+x^2$

${\int }_{-1}^{0}f=G(0)-G(-1)=0-(-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+1)=-\frac{13}{12}$

${\int }_0^{1}f=G(1)-G(0)=-\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+1=\frac{5}{12}$

$\acute{\text{A}}\text{rea}=\mid -\frac{13}{12}\mid +\frac{5}{12}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}=\mathrm{1,5}{\text{u}}^2$

Si se hubiera integrado de $-1$ a $1$ de una vez habría salido $-13\mathrm{/}12+5\mathrm{/}12=-2\mathrm{/}3$, que no es el área sino la diferencia entre las dos partes.