Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2026

Considere la función $f(x)=x(x^2-2x+1)$, para $x\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$.

a) Calcule el valor de la función en los extremos del dominio. [1 punto]

b) Calcule $f^{\mathrm{\prime }}(1)$. [1 punto]

c) Calcule ${\displaystyle {\int }_0^1{f}^{\mathrm{\prime }}(x)dx}$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{extremos}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{dominio.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El dominio es toda la recta real, así que sus extremos no son puntos que se puedan sustituir: hay que calcular los límites en $-\mathrm{\infty }$ y en $+\mathrm{\infty }$. Empezamos desarrollando la función, que es un polinomio de tercer grado.

$f(x)=x(x^2-2x+1)=x^3-2x^2+x=x(x-1{)}^2$

En un polinomio el comportamiento en el infinito lo marca el término de mayor grado, que aquí es $x^3$.

${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}f(x)={\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{x}^3=-\mathrm{\infty }$

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x)={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{x}^3=+\mathrm{\infty }$

La función no toma ningún valor en los extremos del dominio: baja sin cota cuando $x$ tiende a $-\mathrm{\infty }$ y crece sin cota cuando tiende a $+\mathrm{\infty }$.



Se deriva el polinomio término a término y después se sustituye.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-4x+1$

$f^{\mathrm{\prime }}(1)=3\cdot 1^2-4\cdot 1+1=3-4+1=0$

La derivada se anula en $x=1$, de modo que la recta tangente a la curva en ese punto es horizontal. Como además $f(1)=0$, la gráfica toca el eje de abscisas en $x=1$ sin atravesarlo: es la raíz doble que se ve en la forma factorizada $f(x)=x(x-1{)}^2$.



Se integra la derivada de la función, así que no hace falta buscar ninguna primitiva nueva: por la regla de Barrow, una primitiva de $f^{\mathrm{\prime }}$ es la propia $f$.

${\int }_0^1{f}^{\mathrm{\prime }}(x)dx=[f(x){]}_0^1=f(1)-f(0)$

$f(1)=1\cdot (1-1{)}^2=0f(0)=0\cdot (0-1{)}^2=0$

${\int }_0^1{f}^{\mathrm{\prime }}(x)dx=0-0=0$

La integral vale 0. El resultado se lee como una variación neta: entre $x=0$ y $x=1$ la función sube y vuelve a bajar hasta el mismo valor de partida, de forma que el balance de su crecimiento en ese intervalo es nulo.