Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2025

Dada la función $f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2+6x-30$:

a) Encuentre la primitiva $F$ de $f$ para la que se verifica que $F(2)=2$. [1 punto]

b) La función $f$ determina, entre $x=10\text{ m}$ y $x=16\text{ m}$, el recorrido de una montaña rusa. Se quiere pintar de color gris la superficie bajo el recorrido en ese intervalo. Cada bote contiene pintura para $15{\text{m}}^2$ de superficie. ¿Cuántos botes serán necesarios para pintar toda esa superficie? [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Encuentre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primitiva}}\mathbf{\text{F}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{f}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{verifica}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{F(2)}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{2.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se integra término a término:

$F(x)=\int (-\frac{1}{4}{x}^2+6x-30)dx=-\frac{x^3}{12}+3x^2-30x+C$

y se impone la condición:

$F(2)=-\frac{8}{12}+12-60+C=-\frac{2}{3}-48+C=2$

$C=2+48+\frac{2}{3}=\frac{152}{3}=\mathrm{50,67}$

$F(x)=-\frac{x^3}{12}+3x^2-30x+\frac{152}{3}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{botes}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{necesarios}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{pintar}}\mathbf{\text{toda}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{superficie?}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$










La superficie bajo el recorrido entre $x=10$ y $x=16$ es la integral definida de $f$ en ese intervalo, siempre que la función sea positiva ahí, cosa que conviene comprobar:

$f(10)=-25+60-30=5>0$

$f(16)=-64+96-30=2>0$

y el vértice de la parábola, en $x=12$, vale $6$.





$\acute{\text{A}}\text{rea}={\int }_{10}^{16}(-\frac{x^2}{4}+6x-30)dx=[F(x){]}_{10}^{16}$

Se puede usar la primitiva del apartado anterior, porque la constante se cancela al restar:

$F(16)=-\frac{4096}{12}+768-480=-\mathrm{341,33}+288=-\mathrm{53,33}$

$F(10)=-\frac{1000}{12}+300-300=-\mathrm{83,33}$

$\acute{\text{A}}\text{rea}=-\mathrm{53,33}-(-\mathrm{83,33})=30{\text{m}}^2$

Cada bote cubre 15 m², de modo que

$\frac{30}{15}=2$

Hacen falta exactamente $\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{botes}}$ de pintura. (Si el cociente no hubiera salido entero habría que redondear hacia arriba, porque los botes no se compran a medias.)