Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2026

Se considera la función

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x^2}{20}}& \text{si }0\le x<20\\ a+bx& \text{si }20\le x<50\\ 36-{\displaystyle \frac{x^2}{100}}& \text{si }50\le x\le 60\end{array}$

siendo $a$ y $b$ números reales.

a) Determine los valores de $a$ y $b$ para que la función $f$ sea continua en todo su dominio. [0,75 puntos]

b) Para $a=26$ y $b=-{\displaystyle \frac{3}{10}}$:

i) Calcule los extremos relativos de $f$. [0,75 puntos]

ii) Represente gráficamente $f$. [0,5 puntos]

iii) Calcule el área del recinto acotado limitado por el eje $OX$ y la gráfica de la función $f$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{y}}\mathit{b}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathit{f}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{continua}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{todo}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{dominio.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Cada uno de los tres trozos es una función polinómica, continua en su intervalo, de modo que solo hay que imponer la continuidad en los puntos de empalme $x=20$ y $x=50$: los límites laterales han de coincidir con el valor de la función.

Continuidad en $x=20$:

${\lim }_{x\to {20}^{-}}f(x)={\displaystyle \frac{{20}^2}{20}}=20,{\lim }_{x\to {20}^{+}}f(x)=a+20b$

$a+20b=20$

Continuidad en $x=50$:

${\lim }_{x\to {50}^{-}}f(x)=a+50b,{\lim }_{x\to {50}^{+}}f(x)=36-{\displaystyle \frac{{50}^2}{100}}=36-25=11$

$a+50b=11$

Restamos la primera ecuación de la segunda:

$30b=-9\Rightarrow b=-{\displaystyle \frac{3}{10}}\Rightarrow a=20-20\cdot (-{\displaystyle \frac{3}{10}})=26$

La función es continua en todo su dominio cuando $a=26$ y $b=-{\displaystyle \frac{3}{10}}$.



Con esos valores la función queda

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x^2}{20}}& \text{si }0\le x<20\\ 26-{\displaystyle \frac{3x}{10}}& \text{si }20\le x<50\\ 36-{\displaystyle \frac{x^2}{100}}& \text{si }50\le x\le 60\end{array}$

Estudiamos el signo de la derivada en cada tramo, que es donde se decide la monotonía:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x}{10}}& \text{si }0<x<20\\ -{\displaystyle \frac{3}{10}}& \text{si }20<x<50\\ -{\displaystyle \frac{x}{50}}& \text{si }50<x<60\end{array}$

En $(0,20)$ se tiene $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{x}{10}}>0$ y la función crece. En $(20,50)$ la derivada es la constante $-{\displaystyle \frac{3}{10}}<0$ y la función decrece. En $(50,60)$ se tiene $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{x}{50}}<0$ y la función sigue decreciendo.

La derivada no existe en $x=20$ ni en $x=50$, porque las derivadas laterales no coinciden, pero eso no impide que haya extremo: basta el cambio de monotonía. En $x=20$ la función pasa de crecer a decrecer y en $x=50$ sigue decreciendo, así que solo el primero es un extremo.

$f(20)={\displaystyle \frac{{20}^2}{20}}=20$

La función presenta un máximo relativo en el punto $(20,20)$ y no tiene ningún mínimo relativo.

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathit{f}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El primer trozo es un arco de la parábola $y={\displaystyle \frac{x^2}{20}}$, que sale del origen y llega al punto $(20,20)$; el segundo es el segmento de la recta $y=26-{\displaystyle \frac{3x}{10}}$ entre $(20,20)$ y $(50,11)$; el tercero es un arco de la parábola $y=36-{\displaystyle \frac{x^2}{100}}$, que baja de $(50,11)$ hasta $(60,0)$.





La función es positiva en todo el intervalo $[0,60]$ y solo se anula en los extremos, de modo que el recinto queda entre la gráfica y el eje $OX$ y su área es la integral definida de $f$ en $[0,60]$. Como la función está definida a trozos, la integral se parte en tres.



$A={\int }_0^{20}{\displaystyle \frac{x^2}{20}}dx+{\int }_{20}^{50}(26-{\displaystyle \frac{3x}{10}})dx+{\int }_{50}^{60}(36-{\displaystyle \frac{x^2}{100}})dx$

Aplicando la regla de Barrow a cada sumando:

${\int }_0^{20}{\displaystyle \frac{x^2}{20}}dx={\left[{\displaystyle \frac{x^3}{60}}\right]}_0^{20}={\displaystyle \frac{8000}{60}}={\displaystyle \frac{400}{3}}$

${\int }_{20}^{50}(26-{\displaystyle \frac{3x}{10}})dx={[26x-{\displaystyle \frac{3x^2}{20}}]}_{20}^{50}=(1300-375)-(520-60)=465$

${\int }_{50}^{60}(36-{\displaystyle \frac{x^2}{100}})dx={[36x-{\displaystyle \frac{x^3}{300}}]}_{50}^{60}=(2160-720)-(1800-{\displaystyle \frac{1250}{3}})={\displaystyle \frac{170}{3}}$

Sumamos los tres resultados:

$A={\displaystyle \frac{400}{3}}+465+{\displaystyle \frac{170}{3}}={\displaystyle \frac{570}{3}}+465=190+465=655$

El área del recinto acotado por el eje $OX$ y la gráfica de $f$ es de 655 unidades cuadradas.