Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Tres estudiantes de Economía, Cristina, Juan y Pedro, han preparado un trabajo de investigación que deben exponer en clase. Se repartieron las tareas de la siguiente forma: Cristina llevó a cabo la labor de recopilación de datos, en la que empleó un 40 % más que el tiempo que Juan necesitó para redactar el texto. Pedro desempeñó las tareas de revisión y de preparación de la exposición, siendo el tiempo dedicado a ello la mitad del empleado en total por Cristina y Juan.

El tiempo total empleado fue de 18 horas. ¿Cuánto dedicó cada alumno a la elaboración del trabajo? [2,5 puntos]

a) Plantee el sistema de ecuaciones que permite calcular el tiempo empleado por cada estudiante. [0,9 puntos]

b) Analice la compatibilidad de dicho sistema. [0,8 puntos]

c) Resuélvalo. [0,8 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{permite}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{empleado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{estudiante.}}\mathbf{\text{[0,9}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se llama $x$ a las horas que empleó Cristina, $y$ a las de Juan y $z$ a las de Pedro.

i) Cristina empleó un 40 % más que Juan, es decir, 1,4 veces su tiempo:

$x=\mathrm{1,4}y$

ii) Pedro dedicó la mitad del tiempo empleado en total por Cristina y Juan:

$z={\displaystyle \frac{x+y}{2}}$

iii) El tiempo total fue de 18 horas:

$x+y+z=18$

Ordenando las incógnitas, el sistema es

$\{\begin{array}{l}x-\mathrm{1,4}y=0\\ -x-y+2z=0\\ x+y+z=18\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Analice}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{compatibilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{sistema.}}\mathbf{\text{[0,8}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El sistema tiene tres ecuaciones y tres incógnitas, así que se aplica el teorema de Rouché-Frobenius a partir del determinante de la matriz de coeficientes.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -\mathrm{1,4}& 0\\ -1& -1& 2\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$

Se desarrolla por la regla de Sarrus.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(-1-\mathrm{2,8}+0)-(0+2+\mathrm{1,4})=-\mathrm{3,8}-\mathrm{3,4}=-\mathrm{7,2}$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-\mathrm{7,2}\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

El sistema es compatible determinado: el reparto de horas queda determinado de forma única.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Resu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lvalo.}}\mathbf{\text{[0,8}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Las dos primeras ecuaciones dan $x$ y $z$ en función de $y$, así que se sustituyen en la tercera.

$x=\mathrm{1,4}y$

$z={\displaystyle \frac{\mathrm{1,4}y+y}{2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,4}y}{2}}=\mathrm{1,2}y$

$\mathrm{1,4}y+y+\mathrm{1,2}y=18\Rightarrow \mathrm{3,6}y=18\Rightarrow y=5$

$x=\mathrm{1,4}\cdot 5=7,z=\mathrm{1,2}\cdot 5=6$

Se comprueba el total: $7+5+6=18$ horas, y que Pedro empleó la mitad de lo que emplearon los otros dos, ${\displaystyle \frac{7+5}{2}}=6$.

Cristina dedicó 7 horas, Juan 5 horas y Pedro 6 horas.