Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Una tienda de electrodomésticos ha vendido 750 televisores de tres modelos diferentes, A, B y C. Los ingresos totales obtenidos han sido de 230 400 euros. El precio de venta del modelo A era de 320 euros; el del modelo B, un 20 % más barato que A; y el del C, un 10 % más caro que A. Además, de A y C se han vendido, en total, el doble de unidades que de B.

a) Plantee el sistema de ecuaciones que permite calcular cuántas unidades se han vendido de cada modelo de televisor. [0,9 puntos]

b) Analice la compatibilidad de dicho sistema. [0,8 puntos]

c) Resuélvalo. [0,8 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{permite}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{vendido}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{modelo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{televisor.}}\mathbf{\text{[0,9}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se llama $x$ al número de televisores vendidos del modelo A, $y$ a los del modelo B y $z$ a los del modelo C.

Antes de plantear el sistema se calculan los tres precios a partir del de A, que es 320 €.

$\text{Precio de B}=320\cdot (1-\mathrm{0,20})=320\cdot \mathrm{0,80}=256\text{ €}$

$\text{Precio de C}=320\cdot (1+\mathrm{0,10})=320\cdot \mathrm{1,10}=352\text{ €}$

i) Se han vendido 750 televisores en total:

$x+y+z=750$

ii) Los ingresos totales han sido de 230400 €:

$320x+256y+352z=230400$

iii) De A y C se han vendido en total el doble de unidades que de B:

$x+z=2y$

Ordenando las incógnitas, el sistema es

$\{\begin{array}{l}x+y+z=750\\ 320x+256y+352z=230400\\ x-2y+z=0\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Analice}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{compatibilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{sistema.}}\mathbf{\text{[0,8}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El sistema tiene tres ecuaciones y tres incógnitas, así que se aplica el teorema de Rouché-Frobenius a partir del determinante de la matriz de coeficientes.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 320& 256& 352\\ 1& -2& 1\end{array}\right)$

Se desarrolla por la regla de Sarrus.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(256+352-640)-(256+352-704)=-32-(-96)=96$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=96\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

El sistema es compatible determinado: el reparto de unidades queda determinado de forma única.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Resu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lvalo.}}\mathbf{\text{[0,8}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La tercera ecuación dice que $x+z=2y$; se lleva ese dato a la primera.

$2y+y=750\Rightarrow 3y=750\Rightarrow y=250$

$x+z=750-250=500$

Se sustituye $y=250$ en la segunda ecuación.

$320x+256\cdot 250+352z=230400\Rightarrow 320x+352z=230400-64000=166400$

Dividiendo entre 32 queda $10x+11z=5200$, y con $x=500-z$:

$10(500-z)+11z=5200\Rightarrow 5000+z=5200\Rightarrow z=200$

$x=500-200=300$

Se comprueban los ingresos: $320\cdot 300+256\cdot 250+352\cdot 200=96000+64000+70400=230400$ €.

Se han vendido 300 televisores del modelo A, 250 del modelo B y 200 del modelo C.