Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Un ganadero pasiego necesita ampliar su explotación de bovino, para lo cual decide comprar vacas de las razas parda y frisona. Como máximo, tiene planeado adquirir un total de 160 vacas para su cría. Cuando llegue el momento de venderlas, por cada ejemplar de parda espera obtener un beneficio neto de 350 €, y por cada frisona uno de 500 €. Tiene claro que no comprará más de 50 pardas ni menos de 70 frisonas. Además, quiere que el número de vacas pardas sea, al menos, una tercera parte del de frisonas. [2,5 puntos]

a) Plantee la función objetivo y el conjunto de restricciones que describen el problema. [0,75 puntos]

b) Dibuje la región factible en el plano, calculando sus vértices. [1 punto]

c) ¿Cuántas vacas de cada tipo debe comprar para obtener el máximo beneficio? [0,5 puntos]

d) ¿A cuánto asciende dicho beneficio? [0,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{objetivo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{conjunto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{restricciones}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{describen}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{problema.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se llama $x$ al número de vacas pardas e $y$ al número de vacas frisonas que compra el ganadero.

La función objetivo que se desea maximizar es el beneficio neto de la venta:

$B(x,y)=350x+500y$

Las restricciones del problema son:

Como máximo se adquieren 160 vacas en total $\Rightarrow$ $x+y\le 160$.

No comprará más de 50 pardas $\Rightarrow$ $x\le 50$.

No comprará menos de 70 frisonas $\Rightarrow$ $y\ge 70$.

El número de pardas es al menos una tercera parte del de frisonas $\Rightarrow$ $x\ge {\displaystyle \frac{y}{3}}$, es decir, $y\le 3x$.

Se reúnen todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\{\begin{array}{l}x+y\le 160\\ x\le 50\\ y\ge 70\\ y\le 3x\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Dibuje}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano,}}\mathbf{\text{calculando}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Para representar la región factible se dibujan primero las rectas que la delimitan. La región factible es la zona coloreada en azul.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones que forman las rectas que se cortan en cada uno de ellos.

Vértice $A$:

$\{\begin{array}{l}y=70\\ y=3x\end{array}\Rightarrow 3x=70\Rightarrow x={\displaystyle \frac{70}{3}}\Rightarrow A({\displaystyle \frac{70}{3}},70)$

Vértice $B$:

$\{\begin{array}{l}y=70\\ x=50\end{array}\Rightarrow B(50,70)$

Vértice $C$:

$\{\begin{array}{l}x=50\\ x+y=160\end{array}\Rightarrow y=110\Rightarrow C(50,110)$

Vértice $D$:

$\{\begin{array}{l}x+y=160\\ y=3x\end{array}\Rightarrow x+3x=160\Rightarrow x=40\Rightarrow y=120\Rightarrow D(40,120)$

La región factible es el cuadrilátero de vértices $A({\displaystyle \frac{70}{3}},70)$, $B(50,70)$, $C(50,110)$ y $D(40,120)$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{vacas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{comprar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{beneficio?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo se alcanza en alguno de los vértices, así que se valora $B$ en los cuatro.

$B({\displaystyle \frac{70}{3}},70)=350\cdot {\displaystyle \frac{70}{3}}+500\cdot 70={\displaystyle \frac{24500}{3}}+35000\approx \mathrm{43166,67}$

$B(50,70)=17500+35000=52500$

$B(50,110)=17500+55000=72500$

$B(40,120)=14000+60000=74000$

El mayor de los cuatro valores se alcanza en el vértice $D(40,120)$, que además tiene las dos coordenadas enteras, como exige el que se trate de animales. Se comprueba que agota el total de vacas y respeta la proporción: $40+120=160$ y $120=3\cdot 40$.

El ganadero debe comprar 40 vacas pardas y 120 frisonas.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{asciende}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{beneficio?}}\mathbf{\text{[0,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El beneficio máximo es el valor de la función objetivo en ese vértice.

$B(40,120)=74000$

El beneficio asciende a 74000 euros.