Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2022

Se sabe que la evolución del precio del oro en el mercado ($P$, expresado en €/kg) a lo largo de un mes de 31 días viene dado por la siguiente función:

$P(d)={\displaystyle \frac{1}{3}}{d}^3-15d^2+144d+1500$, con $1\le d\le 31$

donde $d$ indica el día del mes. [2,5 puntos]

a) ¿Qué día del mes habría que vender el oro para obtener la máxima ganancia? ¿A cuánto ascendería dicha ganancia si se vendiesen 4 kg de oro? [1 punto]

b) ¿Qué día del mes es el peor para vender oro? ¿Cuál sería la ganancia si se vendiesen los 4 kg de oro ese día? [1 punto]

c) Si se viese obligado a vender 1 kg de oro entre los días 20 y 31 del mes y quisiera obtener la máxima ganancia, ¿en qué día lo haría? ¿Cuánto ganaría con la venta? [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{mes}}\mathbf{\text{habr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{vender}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{oro}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{ganancia?}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{ascender}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{ganancia}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{vendiesen}}\mathbf{\text{4}}\mathbf{\text{kg}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{oro?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se busca el máximo absoluto de $P$ en el intervalo cerrado $[1,31]$, así que hay que comparar los puntos críticos con los extremos del intervalo. Se empieza derivando.

$P^{\mathrm{\prime }}(d)=d^2-30d+144$

$P^{\mathrm{\prime }}(d)=0\Rightarrow d={\displaystyle \frac{30\pm \sqrt{900-576}}{2}}={\displaystyle \frac{30\pm 18}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}d=24\\ d=6\end{array}$

Se estudia el signo de la derivada en los tres tramos del mes.

$P^{\mathrm{\prime }}(1)=1-30+144=115>0,P^{\mathrm{\prime }}(15)=225-450+144=-81<0,P^{\mathrm{\prime }}(31)=961-930+144=175>0$



El precio sube hasta el día 6, baja hasta el día 24 y vuelve a subir: hay un máximo relativo en $d=6$ y un mínimo relativo en $d=24$.

Los candidatos a máximo absoluto son el máximo relativo y el extremo derecho del intervalo.

$P(6)={\displaystyle \frac{216}{3}}-15\cdot 36+144\cdot 6+1500=72-540+864+1500=1896$

$P(31)={\displaystyle \frac{29791}{3}}-15\cdot 961+144\cdot 31+1500={\displaystyle \frac{29791}{3}}-8451={\displaystyle \frac{4438}{3}}\approx \mathrm{1479,33}$

El máximo absoluto está en $d=6$, donde el precio es de 1896 €/kg.

$4\cdot 1896=7584$

Habría que vender el oro el día 6 del mes, y por 4 kg se obtendrían 7584 euros.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{mes}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{peor}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{vender}}\mathbf{\text{oro?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ganancia}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{vendiesen}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{4}}\mathbf{\text{kg}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{oro}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Ahora los candidatos son el mínimo relativo, $d=24$, y el extremo izquierdo del intervalo, $d=1$.

$P(1)={\displaystyle \frac{1}{3}}-15+144+1500={\displaystyle \frac{4888}{3}}\approx \mathrm{1629,33}$

$P(24)={\displaystyle \frac{13824}{3}}-15\cdot 576+144\cdot 24+1500=4608-8640+3456+1500=924$

El mínimo absoluto está en $d=24$, donde el precio es de 924 €/kg.

$4\cdot 924=3696$

El peor día para vender es el 24, y por 4 kg solo se obtendrían 3696 euros.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{viese}}\mathbf{\text{obligado}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{vender}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{kg}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{oro}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{31}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{mes}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{quisiera}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{ganancia,}}\mathbf{\text{¿en}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{har}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{ganar}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{venta?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

En el intervalo $[20,31]$ la función decrece hasta $d=24$ y crece a partir de ahí, de modo que el máximo está en uno de los dos extremos.

$P(20)={\displaystyle \frac{8000}{3}}-15\cdot 400+144\cdot 20+1500={\displaystyle \frac{8000}{3}}-1620={\displaystyle \frac{3140}{3}}\approx \mathrm{1046,67}$

$P(31)={\displaystyle \frac{4438}{3}}\approx \mathrm{1479,33}$

Como $P(31)>P(20)$, la venta debe hacerse el último día del mes.

Vendería el día 31, y por 1 kg obtendría ${\displaystyle \frac{4438}{3}}\approx \mathrm{1479,33}$ euros.