Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2024

Se considera la función $f(x)=a{x}^3+3x^2+bx-4$.

a) Averiguar los valores de $a$ y $b$ para que $f(x)$ tenga un extremo en el punto $(2,-8)$.
b) Si $a=0$ y $b=-11$, hallar el área encerrada entre la gráfica de la función y el eje OX en el intervalo $[4,5]$.

Que la función tenga un extremo en el punto $(2,-8)$ impone dos condiciones: que la gráfica pase por ese punto y que la derivada se anule en él.

Primera condición, $f(2)=-8$:

$a\cdot 2^3+3\cdot 2^2+b\cdot 2-4=-8\Rightarrow 8a+12+2b-4=-8$

$8a+2b=-16\Rightarrow 4a+b=-8$

Segunda condición, $f^{\mathrm{\prime }}(2)=0$. Se deriva primero:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3a{x}^2+6x+b$

$f^{\mathrm{\prime }}(2)=12a+12+b=0\Rightarrow 12a+b=-12$

Se resuelve el sistema restando la primera ecuación de la segunda:

$\{\begin{array}{l}4a+b=-8\\ 12a+b=-12\end{array}\Rightarrow 8a=-4\Rightarrow a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

$b=-8-4(-{\displaystyle \frac{1}{2}})=-8+2=-6$

Los valores pedidos son $a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ y $b=-6$.



Con esos valores la función se reduce a una parábola:

$f(x)=3x^2-11x-4$

Antes de integrar se comprueba si corta al eje de abscisas dentro del intervalo:

$3x^2-11x-4=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{11\pm \sqrt{121+48}}{6}}={\displaystyle \frac{11\pm 13}{6}}$

$x=4$ y $x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$. La única raíz del intervalo es $x=4$, que es justo su extremo, así que el recinto no se parte. Se mira el signo con un punto interior:

$f(\mathrm{4,5})=3\cdot \mathrm{20,25}-\mathrm{49,5}-4=\mathrm{60,75}-\mathrm{53,5}=\mathrm{7,25}>0$

La función es positiva, luego el área coincide con la integral definida.



$A={\int }_4^5(3x^2-11x-4)dx={[x^3-{\displaystyle \frac{11x^2}{2}}-4x]}_4^5$

$=(125-{\displaystyle \frac{275}{2}}-20)-(64-88-16)=-{\displaystyle \frac{65}{2}}+40={\displaystyle \frac{15}{2}}$

El área encerrada entre la gráfica y el eje OX en $[4,5]$ es de ${\displaystyle \frac{15}{2}}=\mathrm{7,5}$ unidades cuadradas.