Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2023

En una factoría los costes variables (miles de euros) vienen dados por la función:

$c(x)=2x+720+{\displaystyle \frac{80000}{x}}$

siendo $x>0$ el número de toneladas producidas.

a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de los costes variables en esa factoría.
b) Calcular el coste variable mínimo y el número de toneladas que se han de producir para alcanzar dicho coste mínimo.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determinar}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{costes}}\mathbf{\text{variables}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{factor}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a.}}$

El crecimiento y el decrecimiento los da el signo de la primera derivada. Se deriva escribiendo el último sumando como una potencia:

$c(x)=2x+720+80000x^{-1}$

$c^{\mathrm{\prime }}(x)=2-80000x^{-2}=2-{\displaystyle \frac{80000}{x^2}}={\displaystyle \frac{2x^2-80000}{x^2}}$

$c^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 2x^2=80000\Rightarrow x^2=40000\Rightarrow x=\pm 200$

Como el enunciado impone $x>0$, el único punto crítico es $x=200$. Se toma un valor de prueba a cada lado:

$c^{\mathrm{\prime }}(100)=2-{\displaystyle \frac{80000}{10000}}=2-8=-6<0$, la función decrece.

$c^{\mathrm{\prime }}(300)=2-{\displaystyle \frac{80000}{90000}}=2-\mathrm{0,89}=\mathrm{1,11}>0$, la función crece.



Los costes variables decrecen en $(0,200)$ y crecen en $(200,+\mathrm{\infty })$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{variable}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{toneladas}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{producir}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{alcanzar}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo.}}$

Como la derivada pasa de negativa a positiva, en $x=200$ hay un mínimo. Se confirma con la segunda derivada:

$c^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{160000}{x^3}}\Rightarrow c^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(200)={\displaystyle \frac{160000}{8000000}}=\mathrm{0,02}>0$

Se calcula el coste en ese punto:

$c(200)=2\cdot 200+720+{\displaystyle \frac{80000}{200}}=400+720+400=1520$

El coste variable mínimo se alcanza produciendo 200 toneladas y vale 1520 miles de euros, es decir, 1520000 euros.