Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2021

Los estatutos de una asociación ecologista establecen que la asociación debe disolverse cuando supere los 100 socios. Se sabe, además, que el número de sus socios varía con los años transcurridos desde su fundación, $x$, de acuerdo con la función $N(x)=x^3-9x^2+24x+64$.

a) ¿Cuántos han sido los socios fundadores? Transcurridos 7 años, ¿cuántos socios habrá? ¿Se disolverá la sociedad en ese momento? (hasta 1 punto)
b) Estudiar el comportamiento (crecimiento, decrecimiento) del número de socios en el intervalo $[0,7]$ ¿cuál será el número mínimo de socios y cuándo se alcanzará? (hasta 2 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{socios}}\mathbf{\text{fundadores?}}\mathbf{\text{Transcurridos}}\mathbf{\text{7}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{socios}}\mathbf{\text{habr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{?}}\mathbf{\text{¿Se}}\mathbf{\text{disolver}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{sociedad}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{momento?}}(\text{hasta }1\text{ punto})$

Los socios fundadores son los que había en el momento de la fundación, es decir, en $x=0$:

$N(0)=0^3-9\cdot 0^2+24\cdot 0+64=64$

La asociación se fundó con 64 socios.

A los 7 años:

$N(7)=7^3-9\cdot 7^2+24\cdot 7+64=343-441+168+64=134$

Como los estatutos obligan a disolverse al superar los 100 socios y

$134>100$

la asociación sí se disolvería en ese momento.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Estudiar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{comportamiento}}\mathbf{\text{(crecimiento,}}\mathbf{\text{decrecimiento)}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{socios}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">[</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">7</mn><mo\; stretchy="false">]</mo></mrow>}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{socios}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ndo}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{alcanzar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{?}}(\text{hasta }2\text{ puntos})$

Se estudia el signo de la primera derivada.

$N^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-18x+24=3(x^2-6x+8)=3(x-2)(x-4)$

$N^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x=2\text{y}x=4$

Los dos valores pertenecen a $[0,7]$ y lo parten en tres tramos. Se toma un valor de prueba en cada uno:

$N^{\mathrm{\prime }}(1)=3(1-2)(1-4)=9>0$, el número de socios crece.

$N^{\mathrm{\prime }}(3)=3(3-2)(3-4)=-3<0$, el número de socios decrece.

$N^{\mathrm{\prime }}(5)=3(5-2)(5-4)=9>0$, el número de socios crece.



El número de socios crece en $(0,2)$, decrece en $(2,4)$ y vuelve a crecer en $(4,7)$. Hay un máximo relativo en $x=2$ y un mínimo relativo en $x=4$:

$N(2)=8-36+48+64=84;N(4)=64-144+96+64=80$

Para el mínimo del intervalo hay que comparar también los extremos:

$N(0)=64;N(7)=134$

El menor de los cuatro valores es 64.

El número mínimo de socios en esos siete años es 64 y se alcanza en el momento de la fundación, $x=0$. El mínimo relativo, el que da la derivada, es de 80 socios a los 4 años de la fundación.