Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2020

La cotización en euros de la criptomoneda Bitcoin en un determinado día del pasado año siguió la función $f(t)=20t^2-200t+1000$ donde $t$ es el tiempo medido en horas desde el comienzo del día.

a) Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función $f(t)$.
b) ¿Cuánto se paga por la compra de 10 Bitcoins en el momento de mínima cotización de ese día?

El crecimiento y el decrecimiento los da el signo de la primera derivada.

$f(t)=20t^2-200t+1000\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(t)=40t-200$

$f^{\mathrm{\prime }}(t)=0\Rightarrow 40t=200\Rightarrow t=5$

El día tiene 24 horas, así que ese punto parte $[0,24]$ en dos tramos. Se toma un valor de prueba en cada uno:

$f^{\mathrm{\prime }}(2)=80-200=-120<0$, la cotización decrece.

$f^{\mathrm{\prime }}(8)=320-200=120>0$, la cotización crece.



La cotización decrece en $(0,5)$ y crece en $(5,24)$. Como la derivada pasa de negativa a positiva, en $t=5$ hay un mínimo, cosa coherente con que la función sea una parábola con las ramas hacia arriba ($20>0$).

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{paga}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{compra}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{Bitcoins}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{momento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima}}\mathbf{\text{cotizaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a?}}$

El mínimo se alcanza a las 5 horas del comienzo del día, y la cotización en ese momento es

$f(5)=20\cdot 5^2-200\cdot 5+1000=500-1000+1000=500$

es decir, 500 euros por Bitcoin. Por 10 Bitcoins se pagarían

$10\cdot 500=5000$

En el momento de mínima cotización, 10 Bitcoins cuestan 5000 euros.