Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2024

Encuentra los valores de a y b que hacen que la función dada por

$f(x)=x^3-a{x}^2-bx+1$

cumpla las dos propiedades siguientes: (1.75 puntos)

i) Su derivada vale lo mismo en $x=0$ y en $x=1$.
ii) Tiene un extremo relativo en $x=-1$.

¿Qué propiedad cumplen las rectas tangentes a la gráfica $y=f(x)$ en los puntos de abscisa 0 y 1? ¿Qué tipo de extremo relativo (máximo o mínimo) tiene f en $-1$? (0.75 puntos)

$\mathbf{\text{Encuentra}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{b}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hacen}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{cumpla}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{propiedades}}\mathbf{\text{siguientes:}}\mathbf{\text{(1.75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Las dos propiedades hablan de la derivada, así que se calcula primero.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-2ax-b$



Se igualan los dos valores de la derivada:

$f^{\mathrm{\prime }}(0)=-b;f^{\mathrm{\prime }}(1)=3-2a-b$

$-b=3-2a-b\Rightarrow 0=3-2a\Rightarrow a={\displaystyle \frac{3}{2}}$



La condición necesaria de extremo relativo es que la derivada se anule en ese punto:

$f^{\mathrm{\prime }}(-1)=0\Rightarrow 3+2a-b=0\Rightarrow b=3+2a$

$b=3+2\cdot {\displaystyle \frac{3}{2}}=6$

Los valores pedidos son $a={\displaystyle \frac{3}{2}}$ y $b=6$.



La pendiente de la recta tangente en un punto es el valor de la derivada en él, y la primera propiedad dice justamente que esos dos valores coinciden:

$f^{\mathrm{\prime }}(0)=f^{\mathrm{\prime }}(1)=-6$

Las dos rectas tangentes tienen la misma pendiente, luego son paralelas (y distintas, porque los puntos de tangencia no están alineados con esa dirección).

Para clasificar el extremo se recurre a la segunda derivada:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6x-2a=6x-3$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(-1)=-6-3=-9<0$

Al ser la segunda derivada negativa, en $x=-1$ la función alcanza un máximo relativo.