Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2024

Consideramos la parábola

$y=5x-x^2-4$

La recta $y=ax$ corta a la parábola en un punto $(x_0,y_0)$, e $y_0$ es el máximo valor posible. ¿Cuánto valen a, $x_0$ e $y_0$? (2.5 puntos)

Se igualan las dos ecuaciones para hallar las abscisas de los puntos comunes a la recta y a la parábola.

$ax=5x-x^2-4\Rightarrow x^2+(a-5)x+4=0$

Que la recta corte a la parábola en un solo punto significa que esta ecuación de segundo grado tiene una única solución, es decir, que su discriminante se anula.

$\mathrm{\Delta }=(a-5{)}^2-4\cdot 1\cdot 4=(a-5{)}^2-16$

$\mathrm{\Delta }=0\Rightarrow (a-5{)}^2=16\Rightarrow a-5=\pm 4\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=9\\ a=1\end{array}$

Hay, por tanto, dos rectas por el origen que tocan a la parábola en un solo punto. Se calcula el punto de cada una.

Para $a=1$:

$x^2-4x+4=0\Rightarrow (x-2{)}^2=0\Rightarrow x=2\Rightarrow y=1\cdot 2=2$

Para $a=9$:

$x^2+4x+4=0\Rightarrow (x+2{)}^2=0\Rightarrow x=-2\Rightarrow y=9\cdot (-2)=-18$



De los dos valores posibles de $y_0$ el enunciado pide el mayor, y $2>-18$, así que se descarta la segunda recta.

Los valores pedidos son $a=1$, $x_0=2$ e $y_0=2$: la recta $y=x$ toca a la parábola en el punto $(2,2)$.