Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2020

Consideramos la función $f(x)=x^4-a{x}^2+b$.

i) ¿Qué valores deben tomar a y b para que la función tenga un mínimo en el punto $(1,0)$? (1 punto)
ii) Con los valores de a y b del apartado (I), calcula los puntos donde $f(x)$ tiene tangente paralela a la recta $y=1$. (1 punto)
iii) Calcula la recta tangente a la función en el punto $x=1$. (0,5 puntos)

NOTA: si no has conseguido determinar a y b en el apartado anterior, toma $a=2$ y $b=1$ en los apartados (II) e (III).

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{deben}}\mathbf{\text{tomar}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{b}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{?}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Que haya un extremo en el punto $(1,0)$ impone dos condiciones: que la gráfica pase por él y que la derivada se anule ahí.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=4x^3-2ax$

$f^{\mathrm{\prime }}(1)=0\Rightarrow 4-2a=0\Rightarrow a=2$

$f(1)=0\Rightarrow 1-a+b=0\Rightarrow b=a-1=1$

Falta comprobar que se trata de un mínimo y no de otro tipo de punto crítico:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=12x^2-2a=12x^2-4\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=8>0$

Al ser la segunda derivada positiva, en $x=1$ hay efectivamente un mínimo. Los valores pedidos son $a=2$ y $b=1$.



La recta $y=1$ es horizontal, de pendiente nula, así que se buscan los puntos en los que la derivada se anula.

$f(x)=x^4-2x^2+1={(x^2-1)}^2$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 4x(x-1)(x+1)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=1\\ x=-1\end{array}$

Se calcula la ordenada de cada uno:

$f(0)=1;f(1)=0;f(-1)=1-2+1=0$



La función tiene tangente paralela a $y=1$ en los puntos $(-1,0)$, $(0,1)$ y $(1,0)$: los dos mínimos y el máximo relativo que queda entre ellos.



La recta tangente en un punto de abscisa $x_0$ tiene por ecuación $y-f(x_0)=f^{\mathrm{\prime }}(x_0)(x-x_0)$. Los dos valores ya están calculados:

$f(1)=0;f^{\mathrm{\prime }}(1)=0$

$y-0=0\cdot (x-1)$

La recta tangente en $x=1$ es $y=0$, es decir, el propio eje de abscisas, que en ese punto toca a la curva sin atravesarla.