Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2021

Consideramos la función f dada por $f(x)=x^3-3x$.

a) Halla sus extremos relativos. (1.25 puntos)
b) ¿Cuánto vale $f^{\mathrm{\prime }}(1)$? ¿Cuál es la recta tangente a la curva $y=f(x)$ en el punto $(1,f(1))$? (0.75 puntos)
c) ¿En qué otro punto $(t,f(t))$ corta dicha recta a la gráfica de f? (0.5 puntos)

Nota: si no has sabido responder al apartado (b), en (c) debes resolver la ecuación $f(x)=f(1)$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Halla}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{extremos}}\mathbf{\text{relativos.}}\mathbf{\text{(1.25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Se deriva la función y se iguala a cero.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-3=3(x^2-1)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$

Se estudia el signo de la derivada en los tres tramos:

$f^{\mathrm{\prime }}(-2)=9>0;f^{\mathrm{\prime }}(0)=-3<0;f^{\mathrm{\prime }}(2)=9>0$



En $x=-1$ la función pasa de crecer a decrecer y en $x=1$ de decrecer a crecer. Se confirma con la segunda derivada:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6x\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(-1)=-6<0;f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=6>0$

$f(-1)=-1+3=2;f(1)=1-3=-2$

La función tiene un máximo relativo en $(-1,2)$ y un mínimo relativo en $(1,-2)$.



El punto $x=1$ es justamente el mínimo relativo, así que la derivada se anula ahí:

$f^{\mathrm{\prime }}(1)=3-3=0$

La recta tangente tiene por ecuación $y-f(1)=f^{\mathrm{\prime }}(1)(x-1)$, y al ser nula la pendiente resulta horizontal:

$y-(-2)=0\cdot (x-1)\Rightarrow y=-2$

La recta tangente en el punto $(1,-2)$ es la horizontal $y=-2$.



Se igualan la función y la recta:

$x^3-3x=-2\Rightarrow x^3-3x+2=0$

Se sabe de antemano que $x=1$ es solución —es el punto de tangencia— y, por serlo de tangencia, es una raíz doble. Factorizando:

$x^3-3x+2=(x-1{)}^2(x+2)$

$(x-1{)}^2(x+2)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=1\text{ (doble)}\\ x=-2\end{array}$

$f(-2)=-8+6=-2$



La recta $y=-2$ vuelve a cortar a la gráfica en el punto $(-2,-2)$.