Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2023

En la figura, x es un valor tal que $6\le x\le 19$, y algunos segmentos miden lo que se indica.



Justifica debidamente que el área $A(x)$ del polígono dibujado (sin contar el triángulo inferior) viene dada por

$A(x)=18+22x-x^2\mathrm{.}$

¿Para qué valor de x dicha área es máxima? ¿Para cuál es mínima? Dibuja la figura cuando x es el valor de área mínima. (2.5 puntos)

Se completa la figura hasta un rectángulo y se le descuenta el triángulo que sobra, que es lo que sugiere el trazo discontinuo del dibujo.

La base del rectángulo es el lado superior, que mide $x$. La altura es el lado derecho completo, suma de los dos segmentos marcados:

$h=(19-x)+6=25-x$

${\mathcal{A}}_{\text{rect}}=x(25-x)$

El triángulo rectángulo que se descuenta tiene por catetos el segmento discontinuo horizontal y el vertical de 6:

$\text{base}=x-6;\text{altura}=6$

${\mathcal{A}}_{\text{tri}}={\displaystyle \frac{(x-6)\cdot 6}{2}}=3(x-6)=3x-18$

Restando:

$A(x)=x(25-x)-(3x-18)=25x-x^2-3x+18$

$A(x)=18+22x-x^2$

que es la expresión del enunciado.

$\mathbf{\text{¿Para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{dicha}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima?}}\mathbf{\text{¿Para}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima?}}\mathbf{\text{Dibuja}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{figura}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima.}}\mathbf{\text{(2.5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La función es una parábola con el coeficiente principal negativo, y hay que estudiarla en el intervalo cerrado $[6,19]$ que fija el enunciado. Se deriva y se iguala a cero.

$A^{\mathrm{\prime }}(x)=22-2x$

$A^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x=11$

$A^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-2<0$

Al ser la segunda derivada negativa, en $x=11$ hay un máximo, y el punto pertenece al intervalo.

$A(11)=18+242-121=139$

El mínimo, en cambio, tiene que estar en uno de los extremos del intervalo, porque no hay más puntos críticos:

$A(6)=18+132-36=114;A(19)=18+418-361=75$

El área es máxima para $x=11$, y vale 139; es mínima para $x=19$, y vale 75.

Cuando $x=19$ el lado derecho superior mide $19-19=0$ y desaparece: la figura se reduce a un trapecio de bases 19 y 6 y altura 6.



Se comprueba el área con la fórmula del trapecio:

$\mathcal{A}={\displaystyle \frac{(19+6)\cdot 6}{2}}=75$