Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2020

La temperatura adecuada para el desarrollo vegetativo en el cultivo de tomates no debe exceder los 23 grados Celsius y en ningún caso debe bajar de 7 grados Celsius. La siguiente función expresa la temperatura, en grados Celsius, el día 14 de agosto en una zona de cultivo:

$T(x)={\displaystyle \frac{-1}{14}}{x}^2+2x+10$

donde $x\in [0,24]$ es la hora del día.

a) Determinar a qué hora de ese día se alcanza la temperatura máxima y si ésta supera los 23 grados Celsius.
b) ¿La zona de cultivo tuvo una temperatura inferior a los 7 grados Celsius el 14 de agosto?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determinar}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{hora}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{alcanza}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{temperatura}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{si}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{sta}}\mathbf{\text{supera}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{23}}\mathbf{\text{grados}}\mathbf{\text{Celsius.}}$

Se busca el máximo derivando e igualando a cero.

$T(x)={\displaystyle \frac{-1}{14}}{x}^2+2x+10\Rightarrow T^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{-2x}{14}}+2=-{\displaystyle \frac{x}{7}}+2$

$T^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{x}{7}}=2\Rightarrow x=14$

El valor pertenece a $[0,24]$. Se comprueba con la segunda derivada:

$T^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{1}{7}}<0$

luego en $x=14$ hay un máximo. Se calcula la temperatura en ese instante:

$T(14)={\displaystyle \frac{-196}{14}}+28+10=-14+38=24$



La temperatura máxima se alcanza a las 14 horas y es de 24 grados Celsius, de modo que SÍ supera los 23 grados que marca el enunciado como límite superior para el desarrollo vegetativo.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿La}}\mathbf{\text{zona}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cultivo}}\mathbf{\text{tuvo}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{temperatura}}\mathbf{\text{inferior}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{7}}\mathbf{\text{grados}}\mathbf{\text{Celsius}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{14}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{agosto?}}$

Se resuelve la inecuación $T(x)<7$ dentro de $[0,24]$.

${\displaystyle \frac{-1}{14}}{x}^2+2x+10<7\Rightarrow {\displaystyle \frac{-1}{14}}{x}^2+2x+3<0$

Se multiplica por $-14$, invirtiendo la desigualdad:

$x^2-28x-42>0$

Se buscan las raíces del polinomio:

$x={\displaystyle \frac{28\pm \sqrt{784+168}}{2}}={\displaystyle \frac{28\pm \sqrt{952}}{2}}=14\pm \sqrt{238}$

$x\approx -\mathrm{1,43}\text{y}x\approx \mathrm{29,43}$

La parábola $x^2-28x-42$ tiene las ramas hacia arriba, así que es positiva fuera del intervalo que forman sus raíces. Como las dos raíces caen fuera de $[0,24]$, en todo el día se cumple

$x^2-28x-42<0⟺T(x)>7$

Basta comprobarlo en los extremos:

$T(0)=10>7;T(24)={\displaystyle \frac{-576}{14}}+48+10\approx \mathrm{16,86}>7$

No: la zona de cultivo no bajó en ningún momento de los 7 grados Celsius el 14 de agosto. La temperatura más baja del día, 10 grados, se dio a las 0 horas.