Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2022

Dada $f(x)={\displaystyle \frac{a{x}^2+1}{5x}}$, dar un valor de $a$ para que en $x=1$ haya un extremo relativo de $f(x)$. (1 punto)

Para que la función tenga un extremo relativo en $x=1$ la derivada debe anularse ahí. Conviene separar la fracción antes de derivar, porque así el cálculo es inmediato:

$f(x)={\displaystyle \frac{a{x}^2+1}{5x}}={\displaystyle \frac{a{x}^2}{5x}}+{\displaystyle \frac{1}{5x}}={\displaystyle \frac{a}{5}}x+{\displaystyle \frac{1}{5}}{x}^{-1}$

Se deriva:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{a}{5}}-{\displaystyle \frac{1}{5}}{x}^{-2}={\displaystyle \frac{a}{5}}-{\displaystyle \frac{1}{5x^2}}$

Se impone que se anule en $x=1$:

$f^{\mathrm{\prime }}(1)={\displaystyle \frac{a}{5}}-{\displaystyle \frac{1}{5}}=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{a-1}{5}}=0\Rightarrow a=1$

Falta comprobar que con ese valor hay de verdad un extremo y no un punto de inflexión. Con $a=1$:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{5}}-{\displaystyle \frac{1}{5x^2}}={\displaystyle \frac{x^2-1}{5x^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{\frac{1}{4}-1}{\frac{5}{4}}}=-{\displaystyle \frac{3}{5}}<0$

$f^{\mathrm{\prime }}(2)={\displaystyle \frac{4-1}{20}}={\displaystyle \frac{3}{20}}>0$



La derivada pasa de negativa a positiva, de modo que en $x=1$ hay un mínimo relativo.

El valor pedido es $a=1$.