Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2025

Una fábrica arroja diariamente material contaminante a una balsa según la función

$m(t)={\displaystyle \frac{1}{200}}{t}^3-{\displaystyle \frac{1}{10}}{t}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}t+{\displaystyle \frac{1}{2}}$

donde $m$ es la cantidad de material en kilogramos y $t$ la hora del día.

¿A qué hora del día arroja la máxima cantidad de material contaminante? ¿Y a qué hora la mínima? Determinar la cantidad arrojada en ambos momentos. (1.5 puntos)

Los máximos y mínimos de la función se localizan con la primera derivada, que se anula en los puntos críticos.

$m(t)={\displaystyle \frac{1}{200}}{t}^3-{\displaystyle \frac{1}{10}}{t}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}t+{\displaystyle \frac{1}{2}}$

$m^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{3}{200}}{t}^2-{\displaystyle \frac{1}{5}}t+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{3t^2-40t+100}{200}}$

$m^{\mathrm{\prime }}(t)=0\Rightarrow 3t^2-40t+100=0$

$t={\displaystyle \frac{40\pm \sqrt{1600-1200}}{6}}={\displaystyle \frac{40\pm \sqrt{400}}{6}}={\displaystyle \frac{40\pm 20}{6}}$

$t={\displaystyle \frac{10}{3}}\approx \mathrm{3,33}\text{y}t=10$

Se decide de qué tipo es cada uno con la segunda derivada:

$m^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{3}{100}}t-{\displaystyle \frac{1}{5}}$

$m^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\left({\displaystyle \frac{10}{3}}\right)={\displaystyle \frac{1}{10}}-{\displaystyle \frac{1}{5}}=-{\displaystyle \frac{1}{10}}<0$, luego en $t={\displaystyle \frac{10}{3}}$ hay un máximo.

$m^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(10)={\displaystyle \frac{3}{10}}-{\displaystyle \frac{1}{5}}={\displaystyle \frac{1}{10}}>0$, luego en $t=10$ hay un mínimo.



Se calculan las cantidades arrojadas en esos dos momentos:

$m\left({\displaystyle \frac{10}{3}}\right)={\displaystyle \frac{1}{200}}\cdot {\displaystyle \frac{1000}{27}}-{\displaystyle \frac{1}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{100}{9}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{10}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}$

$m\left({\displaystyle \frac{10}{3}}\right)={\displaystyle \frac{5}{27}}-{\displaystyle \frac{10}{9}}+{\displaystyle \frac{5}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{67}{54}}\approx \mathrm{1,24}$

$m(10)={\displaystyle \frac{1000}{200}}-{\displaystyle \frac{100}{10}}+{\displaystyle \frac{10}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}=5-10+5+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

La máxima cantidad se arroja a las ${\displaystyle \frac{10}{3}}$ horas, es decir, a las 3 horas y 20 minutos, y son ${\displaystyle \frac{67}{54}}\approx \mathrm{1,24}$ kilogramos. La mínima se arroja a las 10 horas, y son 0,5 kilogramos.

Conviene señalar que estos son el máximo y el mínimo relativos. Si se recorre el día entero, la función vuelve a crecer a partir de las 10 horas y al final de la jornada llega a

$m(24)={\displaystyle \frac{13824}{200}}-{\displaystyle \frac{576}{10}}+12+{\displaystyle \frac{1}{2}}=\mathrm{24,02}$

kilogramos, de manera que el mayor valor de todo el día se alcanza al final de él.