Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2024

En una empresa, el coste total de fabricación de $x$ toneladas de un producto viene expresado, en euros, por la función $C(x)=2x^2+4x+98$. Suponga que se venden todas las toneladas que se fabrican y que cada tonelada del producto se vende por 40 euros. Responda a las siguientes cuestiones:

i) Determine la función que expresa el beneficio (ingresos menos costes) obtenido en función de $x$. ¿Cuál es el beneficio obtenido si se fabrican 6 toneladas del producto? (3 puntos)

ii) ¿Cuántas toneladas del producto deben fabricarse para que el beneficio sea máximo? ¿A cuánto asciende dicho beneficio? (4 puntos)

iii) ¿Para qué cantidad del producto se tienen pérdidas (beneficios negativos)? (3 puntos)

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{expresa}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{(ingresos}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{costes)}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathit{x}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{fabrican}}\mathbf{\text{6}}\mathbf{\text{toneladas}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{producto?}}(3\text{ puntos})$

Se venden todas las toneladas fabricadas a 40 euros cada una, así que los ingresos son

$I(x)=40x$

El beneficio es la diferencia entre los ingresos y los costes:

$B(x)=I(x)-C(x)=40x-(2x^2+4x+98)$

$B(x)=40x-2x^2-4x-98=-2x^2+36x-98$

Para 6 toneladas:

$B(6)=-2\cdot 6^2+36\cdot 6-98=-72+216-98=46$

Fabricando 6 toneladas se obtiene un beneficio de 46 euros.

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{toneladas}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{producto}}\mathbf{\text{deben}}\mathbf{\text{fabricarse}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo?}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{asciende}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{beneficio?}}(4\text{ puntos})$

Se deriva la función beneficio y se iguala a cero.

$B^{\mathrm{\prime }}(x)=-4x+36$

$B^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow -4x+36=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{36}{4}}=9$

Se sustituye en la segunda derivada:

$B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-4\Rightarrow B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(9)=-4<0$

Al ser la segunda derivada negativa, la función beneficio presenta un máximo en $x=9$.



$B(9)=-2\cdot 81+36\cdot 9-98=-162+324-98=64$

Deben fabricarse 9 toneladas y el beneficio máximo asciende a 64 euros.

$\mathbf{\text{iii)}}\mathbf{\text{¿Para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{producto}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{tienen}}\mathbf{\text{p}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rdidas}}\mathbf{\text{(beneficios}}\mathbf{\text{negativos)?}}(3\text{ puntos})$

Se resuelve la inecuación $B(x)<0$. Primero se buscan las raíces del beneficio:

$-2x^2+36x-98=0\Rightarrow x^2-18x+49=0$

$x={\displaystyle \frac{18\pm \sqrt{324-196}}{2}}={\displaystyle \frac{18\pm \sqrt{128}}{2}}={\displaystyle \frac{18\pm 8\sqrt{2}}{2}}=9\pm 4\sqrt{2}$

$\{\begin{array}{l}x=9-4\sqrt{2}\approx \mathrm{3,34}\\ x=9+4\sqrt{2}\approx \mathrm{14,66}\end{array}$

Se estudia el signo del beneficio a un lado y a otro de las raíces:

$B(0)=-98<0$, hay pérdidas.

$B(9)=64>0$, hay beneficios.

$B(20)=-800+720-98=-178<0$, hay pérdidas.



La empresa tiene pérdidas cuando fabrica menos de $9-4\sqrt{2}\approx \mathrm{3,34}$ toneladas o más de $9+4\sqrt{2}\approx \mathrm{14,66}$ toneladas.