Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

El 55 % de los artículos que fabrica una empresa de iluminación son bombillas, el 30 % fluorescentes y el resto halógenos. Tras un análisis en el departamento de calidad se encuentra que el 2 % de las bombillas, el 1 % de los fluorescentes y el 3 % de los halógenos que se producen presenta algún tipo de defecto de fábrica. Si se escoge un producto al azar de los que se producen: [2,5 puntos]

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un fluorescente y no presente ningún defecto de fábrica? [0,5 puntos]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea una bombilla y presente algún defecto de fábrica? [0,5 puntos]

c) ¿Cuál es la probabilidad de que presente algún defecto de fábrica? [0,75 puntos]

d) Si no presenta ningún defecto de fábrica, ¿cuál es la probabilidad de que sea un halógeno? [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{fluorescente}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{presente}}\mathbf{\text{ning}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{defecto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{f}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{brica?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se nombran los sucesos:

$B\equiv$ el artículo es una bombilla,

$F\equiv$ el artículo es un fluorescente,

$H\equiv$ el artículo es un halógeno,

$D\equiv$ el artículo presenta algún defecto, y $\bar{D}\equiv$ no presenta ninguno.

Del enunciado se leen $P(B)=\mathrm{0,55}$, $P(F)=\mathrm{0,30}$ y, como el resto son halógenos, $P(H)=1-\mathrm{0,55}-\mathrm{0,30}=\mathrm{0,15}$. Las condicionadas son $P(D\mathrm{/}B)=\mathrm{0,02}$, $P(D\mathrm{/}F)=\mathrm{0,01}$ y $P(D\mathrm{/}H)=\mathrm{0,03}$.

El experimento tiene dos etapas —primero el tipo de artículo y después el control de calidad—, así que se organiza en un diagrama de árbol.



Lo que se pide es la probabilidad de recorrer la rama $F$ y después la rama $\bar{D}$.

$P(F\cap \bar{D})=P(F)\cdot P(\bar{D}\mathrm{/}F)=\mathrm{0,30}\cdot \mathrm{0,99}=\mathrm{0,297}$

La probabilidad pedida es $\mathrm{0,297}$, es decir, un 29,7 %.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{bombilla}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{presente}}\mathbf{\text{alg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{defecto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{f}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{brica?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se recorre ahora la rama $B$ seguida de $D$.

$P(B\cap D)=P(B)\cdot P(D\mathrm{/}B)=\mathrm{0,55}\cdot \mathrm{0,02}=\mathrm{0,011}$

La probabilidad pedida es $\mathrm{0,011}$, es decir, un 1,1 %.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{presente}}\mathbf{\text{alg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{defecto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{f}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{brica?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Los sucesos $B$, $F$ y $H$ forman un sistema completo, de modo que se aplica el teorema de la probabilidad total sumando las tres ramas que terminan en $D$.

$P(D)=P(B)P(D\mathrm{/}B)+P(F)P(D\mathrm{/}F)+P(H)P(D\mathrm{/}H)$

$P(D)=\mathrm{0,55}\cdot \mathrm{0,02}+\mathrm{0,30}\cdot \mathrm{0,01}+\mathrm{0,15}\cdot \mathrm{0,03}$

$P(D)=\mathrm{0,011}+\mathrm{0,003}+\mathrm{0,0045}=\mathrm{0,0185}$

La probabilidad de que el artículo presente algún defecto de fábrica es $\mathrm{0,0185}$, es decir, un 1,85 %.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{presenta}}\mathbf{\text{ning}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{defecto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{f}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{brica,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{hal}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{geno?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Es una probabilidad a posteriori: se conoce el resultado de la segunda etapa y se pregunta por la primera. Se utiliza el teorema de Bayes con el suceso contrario.

$P(\bar{D})=1-P(D)=1-\mathrm{0,0185}=\mathrm{0,9815}$

$P(H\mathrm{/}\bar{D})={\displaystyle \frac{P(H)\cdot P(\bar{D}\mathrm{/}H)}{P(\bar{D})}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,15}\cdot \mathrm{0,97}}{\mathrm{0,9815}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,1455}}{\mathrm{0,9815}}}\approx \mathrm{0,1482}$

Si el artículo no presenta ningún defecto, la probabilidad de que sea un halógeno es $\mathrm{0,1482}$, es decir, un 14,82 %.