Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

En una cierta ciudad el 35 % del censo vota al partido A, el 45 % al partido B y el 20 % restante se abstiene. Se sabe, además, que el 20 % de los votantes del partido A, el 30 % de los del partido B y el 15 % de los que se abstienen son mayores de 60 años. Si se escoge al azar un ciudadano censado: [2,5 puntos]

a) ¿Cuál es la probabilidad de que vote al partido B y tenga como máximo 60 años? [0,5 puntos]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que vote al partido A y sea mayor de 60 años? [0,5 puntos]

c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mayor de 60 años? [0,75 puntos]

d) Si es mayor de 60 años, ¿cuál es la probabilidad de que se haya abstenido en las elecciones? [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{vote}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{partido}}\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{60}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se nombran los sucesos:

$A\equiv$ votar al partido A,

$B\equiv$ votar al partido B,

$C\equiv$ abstenerse,

$M\equiv$ ser mayor de 60 años, y $\bar{M}\equiv$ tener como máximo 60 años.

Del enunciado se leen $P(A)=\mathrm{0,35}$, $P(B)=\mathrm{0,45}$, $P(C)=\mathrm{0,20}$, $P(M\mathrm{/}A)=\mathrm{0,20}$, $P(M\mathrm{/}B)=\mathrm{0,30}$ y $P(M\mathrm{/}C)=\mathrm{0,15}$.

El experimento tiene dos etapas —primero la opción de voto y después la edad—, así que se organiza en un diagrama de árbol.



Lo que se pide es la probabilidad de recorrer la rama $B$ y después la rama $\bar{M}$.

$P(B\cap \bar{M})=P(B)\cdot P(\bar{M}\mathrm{/}B)=\mathrm{0,45}\cdot (1-\mathrm{0,30})=\mathrm{0,45}\cdot \mathrm{0,70}=\mathrm{0,315}$

La probabilidad pedida es $\mathrm{0,315}$, es decir, un 31,5 %.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{vote}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{partido}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{60}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se recorre ahora la rama $A$ seguida de $M$.

$P(A\cap M)=P(A)\cdot P(M\mathrm{/}A)=\mathrm{0,35}\cdot \mathrm{0,20}=\mathrm{0,07}$

La probabilidad pedida es $\mathrm{0,07}$, es decir, un 7 %.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{60}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Los sucesos $A$, $B$ y $C$ forman un sistema completo, de modo que se aplica el teorema de la probabilidad total sumando las tres ramas que terminan en $M$.

$P(M)=P(A)P(M\mathrm{/}A)+P(B)P(M\mathrm{/}B)+P(C)P(M\mathrm{/}C)$

$P(M)=\mathrm{0,35}\cdot \mathrm{0,20}+\mathrm{0,45}\cdot \mathrm{0,30}+\mathrm{0,20}\cdot \mathrm{0,15}$

$P(M)=\mathrm{0,07}+\mathrm{0,135}+\mathrm{0,03}=\mathrm{0,235}$

La probabilidad de que el ciudadano sea mayor de 60 años es $\mathrm{0,235}$, es decir, un 23,5 %.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{60}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{abstenido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{elecciones?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Es una probabilidad a posteriori: se conoce el resultado de la segunda etapa y se pregunta por la primera. Se utiliza el teorema de Bayes.

$P(C\mathrm{/}M)={\displaystyle \frac{P(C)\cdot P(M\mathrm{/}C)}{P(M)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,20}\cdot \mathrm{0,15}}{\mathrm{0,235}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,03}}{\mathrm{0,235}}}={\displaystyle \frac{6}{47}}\approx \mathrm{0,1277}$

Si el ciudadano es mayor de 60 años, la probabilidad de que se haya abstenido es ${\displaystyle \frac{6}{47}}\approx \mathrm{0,1277}$, es decir, un 12,77 %.