Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

En una encuesta sobre hábitos de lectura, se encontró que el 50 % de los lectores prefieren los libros de ficción, el 30 % prefieren los libros de biografías y el resto prefieren los libros de poesía. Además, se descubrió que el 60 % de los que prefieren la ficción, el 40 % de los que prefieren biografías y el 25 % de los que prefieren poesía también participan en eventos de lectura. Si se escoge al azar una persona: [2,5 puntos]

a) ¿Cuál es la probabilidad de que prefiera los libros de ficción y participe en eventos de lectura? [0,5 puntos]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que prefiera los libros de poesía y no participe en eventos de lectura? [0,5 puntos]

c) ¿Cuál es la probabilidad de que participe en eventos de lectura? [0,75 puntos]

d) Si no participa en eventos de lectura, ¿cuál es la probabilidad de que prefiera los libros de ficción? [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{prefiera}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{libros}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ficci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{participe}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{eventos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{lectura?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se nombran los sucesos:

$F\equiv$ preferir los libros de ficción,

$B\equiv$ preferir los libros de biografías,

$P\equiv$ preferir los libros de poesía,

$E\equiv$ participar en eventos de lectura, y $\bar{E}\equiv$ no participar.

Del enunciado se leen $P(F)=\mathrm{0,50}$, $P(B)=\mathrm{0,30}$ y, como el resto prefiere poesía, $P(P)=1-\mathrm{0,50}-\mathrm{0,30}=\mathrm{0,20}$. Las condicionadas son $P(E\mathrm{/}F)=\mathrm{0,60}$, $P(E\mathrm{/}B)=\mathrm{0,40}$ y $P(E\mathrm{/}P)=\mathrm{0,25}$.

El experimento tiene dos etapas —primero la preferencia y después la participación—, así que se organiza en un diagrama de árbol.



Lo que se pide es la probabilidad de recorrer la rama $F$ y después la rama $E$.

$P(F\cap E)=P(F)\cdot P(E\mathrm{/}F)=\mathrm{0,50}\cdot \mathrm{0,60}=\mathrm{0,30}$

La probabilidad pedida es $\mathrm{0,30}$, es decir, un 30 %.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{prefiera}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{libros}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{poes}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{participe}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{eventos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{lectura?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se recorre ahora la rama $P$ seguida de $\bar{E}$.

$P(P\cap \bar{E})=P(P)\cdot P(\bar{E}\mathrm{/}P)=\mathrm{0,20}\cdot (1-\mathrm{0,25})=\mathrm{0,20}\cdot \mathrm{0,75}=\mathrm{0,15}$

La probabilidad pedida es $\mathrm{0,15}$, es decir, un 15 %.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{participe}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{eventos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{lectura?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Los sucesos $F$, $B$ y $P$ forman un sistema completo, de modo que se aplica el teorema de la probabilidad total sumando las tres ramas que terminan en $E$.

$P(E)=P(F)P(E\mathrm{/}F)+P(B)P(E\mathrm{/}B)+P(P)P(E\mathrm{/}P)$

$P(E)=\mathrm{0,50}\cdot \mathrm{0,60}+\mathrm{0,30}\cdot \mathrm{0,40}+\mathrm{0,20}\cdot \mathrm{0,25}$

$P(E)=\mathrm{0,30}+\mathrm{0,12}+\mathrm{0,05}=\mathrm{0,47}$

La probabilidad de que la persona participe en eventos de lectura es $\mathrm{0,47}$, es decir, un 47 %.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{participa}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{eventos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{lectura,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{prefiera}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{libros}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ficci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Es una probabilidad a posteriori: se conoce el resultado de la segunda etapa y se pregunta por la primera. Se utiliza el teorema de Bayes con el suceso contrario.

$P(\bar{E})=1-P(E)=1-\mathrm{0,47}=\mathrm{0,53}$

$P(F\mathrm{/}\bar{E})={\displaystyle \frac{P(F)\cdot P(\bar{E}\mathrm{/}F)}{P(\bar{E})}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,50}\cdot \mathrm{0,40}}{\mathrm{0,53}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,20}}{\mathrm{0,53}}}={\displaystyle \frac{20}{53}}\approx \mathrm{0,3774}$

Si la persona no participa en eventos de lectura, la probabilidad de que prefiera los libros de ficción es ${\displaystyle \frac{20}{53}}\approx \mathrm{0,3774}$, es decir, un 37,74 %.