Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

Un grupo de turistas programa una visita a la Geoda de Pulpí. El 42 % de los turistas del grupo proceden de Andalucía, el 32 % de otras comunidades autónomas y el resto del extranjero. Son mayores de edad el 65 % de los visitantes que proceden de Andalucía y el 75 % de los que proceden de otras comunidades autónomas. Son menores de edad el 20 % de los visitantes extranjeros.

Elegido un turista de este grupo al azar, halle la probabilidad de que:

a) Sea mayor de edad. (1 punto)

b) Proceda de Andalucía y sea menor de edad. (0,5 puntos)

c) Sea extranjero sabiendo que es menor de edad. (1 punto)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Sea}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{edad.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Nombramos los sucesos:

$A\equiv$ el turista procede de Andalucía,
$O\equiv$ el turista procede de otra comunidad autónoma,
$E\equiv$ el turista procede del extranjero,
$M\equiv$ el turista es mayor de edad,
$\bar{M}\equiv$ el turista es menor de edad.

Los tres orígenes forman un sistema completo de sucesos. El porcentaje de extranjeros se obtiene por diferencia: $100-42-32=26$ %. Del enunciado, el 20 % de los extranjeros son menores, luego el 80 % son mayores.

Hacemos un diagrama de árbol.



Aplicamos el teorema de la probabilidad total.

$P(M)=P(A)P(M\mathrm{/}A)+P(O)P(M\mathrm{/}O)+P(E)P(M\mathrm{/}E)$

$P(M)=\mathrm{0,42}\cdot \mathrm{0,65}+\mathrm{0,32}\cdot \mathrm{0,75}+\mathrm{0,26}\cdot \mathrm{0,80}$

$P(M)=\mathrm{0,273}+\mathrm{0,24}+\mathrm{0,208}=\mathrm{0,721}$

La probabilidad de que el turista elegido sea mayor de edad es $\mathrm{0,721}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Proceda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Andaluc}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{edad.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Se recorre una sola rama del árbol y se multiplican sus probabilidades.

$P(A\cap \bar{M})=P(A)\cdot P(\bar{M}\mathrm{/}A)=\mathrm{0,42}\cdot \mathrm{0,35}=\mathrm{0,147}$

La probabilidad de que proceda de Andalucía y sea menor de edad es $\mathrm{0,147}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Sea}}\mathbf{\text{extranjero}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{edad.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Es una probabilidad a posteriori. Utilizamos el teorema de Bayes. Como el suceso «ser menor de edad» es el contrario de «ser mayor de edad»,

$P(\bar{M})=1-P(M)=1-\mathrm{0,721}=\mathrm{0,279}$

$P(E\mathrm{/}\bar{M})={\displaystyle \frac{P(E)\cdot P(\bar{M}\mathrm{/}E)}{P(\bar{M})}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,26}\cdot \mathrm{0,20}}{\mathrm{0,279}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,052}}{\mathrm{0,279}}}={\displaystyle \frac{52}{279}}\approx \mathrm{0,1864}$

La probabilidad de que sea extranjero sabiendo que es menor de edad es ${\displaystyle \frac{52}{279}}\approx \mathrm{0,1864}$.