Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

Una tienda vende quesos de las marcas A (el 35 %), B (el 38 %) y C (el resto). Respectivamente, el 2 %, el 3 % y el 2,5 % tienen exceso de sal.

a) Determinar el árbol de probabilidades.

b) Calcular la probabilidad de que un queso elegido al azar no tenga exceso de sal.

c) Si un queso elegido al azar tiene exceso de sal, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la marca C?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determinar}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rbol}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{probabilidades.}}$

Nombramos los sucesos:

$A\equiv$ el queso es de la marca A,
$B\equiv$ el queso es de la marca B,
$C\equiv$ el queso es de la marca C,
$S\equiv$ el queso tiene exceso de sal,
$\bar{S}\equiv$ el queso no tiene exceso de sal.

Las tres marcas forman un sistema completo de sucesos; a la marca C le corresponde el resto:

$P(C)=1-\mathrm{0,35}-\mathrm{0,38}=\mathrm{0,27}$



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{queso}}\mathbf{\text{elegido}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{exceso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sal.}}$

Aplicamos el teorema de la probabilidad total.

$P(S)=P(A)P(S\mathrm{/}A)+P(B)P(S\mathrm{/}B)+P(C)P(S\mathrm{/}C)$

$P(S)=\mathrm{0,35}\cdot \mathrm{0,02}+\mathrm{0,38}\cdot \mathrm{0,03}+\mathrm{0,27}\cdot \mathrm{0,025}$

$P(S)=\mathrm{0,007}+\mathrm{0,0114}+\mathrm{0,00675}=\mathrm{0,02515}$

El suceso pedido es el contrario.

$P(\bar{S})=1-\mathrm{0,02515}=\mathrm{0,97485}$

La probabilidad de que el queso elegido no tenga exceso de sal es $\mathrm{0,97485}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{queso}}\mathbf{\text{elegido}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{exceso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sal,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{marca}}\mathbf{\text{C?}}$

Es una probabilidad a posteriori: se aplica el teorema de Bayes.

$P(C\mathrm{/}S)={\displaystyle \frac{P(C)\cdot P(S\mathrm{/}C)}{P(S)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,00675}}{\mathrm{0,02515}}}={\displaystyle \frac{135}{503}}\approx \mathrm{0,2684}$

Sabiendo que el queso tiene exceso de sal, la probabilidad de que sea de la marca C es ${\displaystyle \frac{135}{503}}\approx \mathrm{0,2684}$.