Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

Una multinacional dedicada a la fabricación de vehículos fabrica el 40 % de sus vehículos en España, el 35 % en Francia y el resto en Italia. Los vehículos fabricados son de tres modelos (Ancer, Beam y Celestial). En España se fabrican los tres modelos a partes iguales. En Francia dos terceras partes de los vehículos que se fabrican son del modelo Ancer y el resto son Beam. En Italia se fabrican los modelos Beam y Celestial a partes iguales.

a) Construye el diagrama de árbol de probabilidades.

b) Se elige un vehículo al azar de entre todos los producidos por la multinacional, ¿cuál es la probabilidad de que sea del modelo Beam?

c) Si poseyéramos un vehículo modelo Ancer, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en España?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Construye}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{diagrama}}\mathbf{\text{de}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rbol}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{probabilidades.}}$

Nombramos los sucesos:

$E\equiv$ el vehículo se fabrica en España,
$F\equiv$ el vehículo se fabrica en Francia,
$I\equiv$ el vehículo se fabrica en Italia,
$A\equiv$ el vehículo es del modelo Ancer,
$B\equiv$ el vehículo es del modelo Beam,
$C\equiv$ el vehículo es del modelo Celestial.

Los tres países forman un sistema completo de sucesos; a Italia le corresponde el resto:

$P(I)=1-\mathrm{0,40}-\mathrm{0,35}=\mathrm{0,25}$

En España los tres modelos se fabrican a partes iguales, así que cada uno tiene probabilidad ${\displaystyle \frac{1}{3}}$; en Francia, dos terceras partes son Ancer y el resto Beam; y en Italia, Beam y Celestial a partes iguales.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{elige}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{veh}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{culo}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{todos}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{producidos}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{multinacional,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{modelo}}\mathbf{\text{Beam?}}$

Aplicamos el teorema de la probabilidad total.

$P(B)=P(E)P(B\mathrm{/}E)+P(F)P(B\mathrm{/}F)+P(I)P(B\mathrm{/}I)$

$P(B)=\mathrm{0,40}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}+\mathrm{0,35}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}+\mathrm{0,25}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}$

$P(B)={\displaystyle \frac{2}{15}}+{\displaystyle \frac{7}{60}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}={\displaystyle \frac{16+14+15}{120}}={\displaystyle \frac{45}{120}}={\displaystyle \frac{3}{8}}=\mathrm{0,375}$

La probabilidad de que el vehículo elegido sea del modelo Beam es $\mathrm{0,375}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{posey}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ramos}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{veh}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{culo}}\mathbf{\text{modelo}}\mathbf{\text{Ancer,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{fabricado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{Espa}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{a?}}$

Calculamos primero la probabilidad de que un vehículo sea Ancer. En Italia no se fabrica ese modelo, de modo que $P(A\mathrm{/}I)=0$.

$P(A)=\mathrm{0,40}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}+\mathrm{0,35}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}+\mathrm{0,25}\cdot 0={\displaystyle \frac{2}{15}}+{\displaystyle \frac{7}{30}}={\displaystyle \frac{11}{30}}$

Es una probabilidad a posteriori: se aplica el teorema de Bayes.

$P(E\mathrm{/}A)={\displaystyle \frac{P(E)\cdot P(A\mathrm{/}E)}{P(A)}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2}{15}}}{{\displaystyle \frac{11}{30}}}}={\displaystyle \frac{4}{11}}\approx \mathrm{0,3636}$

Sabiendo que el vehículo es un Ancer, la probabilidad de que se haya fabricado en España es ${\displaystyle \frac{4}{11}}\approx \mathrm{0,3636}$.