Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

En una clínica veterinaria el 40 % de los animales que acuden a consulta son perros, el 30 % gatos, el 20 % aves y el resto otros animales. El 70 % de los perros acude con cita previa y el resto acude como urgencia; entre los gatos, el 60 % viene con cita previa y el resto como urgencia; solo un 10 % de las aves viene como urgencia; el resto de animales viene siempre como urgencia.

a) Construir el árbol de probabilidades para este problema.

b) De todos los animales que vienen con cita previa, ¿qué porcentaje son perros?

c) ¿Qué porcentaje de las consultas realizadas en la clínica son urgencias?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Construir}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rbol}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{probabilidades}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{problema.}}$

Nombramos los sucesos:

$P\equiv$ el animal es un perro,
$G\equiv$ el animal es un gato,
$A\equiv$ el animal es un ave,
$R\equiv$ el animal es de otra especie,
$C\equiv$ acude con cita previa,
$U\equiv$ acude como urgencia.

Los cuatro grupos forman un sistema completo de sucesos; al grupo «otros» le corresponde el resto:

$P(R)=1-\mathrm{0,40}-\mathrm{0,30}-\mathrm{0,20}=\mathrm{0,10}$

De las aves solo un 10 % viene como urgencia, luego el 90 % viene con cita previa; y los demás animales vienen siempre como urgencia, es decir, con probabilidad 1.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{De}}\mathbf{\text{todos}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{animales}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{vienen}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{cita}}\mathbf{\text{previa,}}\mathbf{\text{¿qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{porcentaje}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{perros?}}$

Calculamos primero la probabilidad de que un animal venga con cita previa, por el teorema de la probabilidad total.

$P(C)=P(P)P(C\mathrm{/}P)+P(G)P(C\mathrm{/}G)+P(A)P(C\mathrm{/}A)+P(R)P(C\mathrm{/}R)$

$P(C)=\mathrm{0,40}\cdot \mathrm{0,70}+\mathrm{0,30}\cdot \mathrm{0,60}+\mathrm{0,20}\cdot \mathrm{0,90}+\mathrm{0,10}\cdot 0$

$P(C)=\mathrm{0,28}+\mathrm{0,18}+\mathrm{0,18}+0=\mathrm{0,64}$

Es una probabilidad a posteriori: se aplica el teorema de Bayes.

$P(P\mathrm{/}C)={\displaystyle \frac{P(P)\cdot P(C\mathrm{/}P)}{P(C)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,28}}{\mathrm{0,64}}}={\displaystyle \frac{7}{16}}=\mathrm{0,4375}$

De los animales que vienen con cita previa, el $\mathrm{43,75}$ % son perros.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{porcentaje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{consultas}}\mathbf{\text{realizadas}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cl}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nica}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{urgencias?}}$

El suceso «venir como urgencia» es el contrario de «venir con cita previa».

$P(U)=1-P(C)=1-\mathrm{0,64}=\mathrm{0,36}$

El $36$ % de las consultas realizadas en la clínica son urgencias.