Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

Determinados productos envasados de larga duración se transportan cada semana, entre dos ciudades españolas, por carretera (el 42 %), por tren (el 47 %) y por avión (el resto). Por causas diversas, las entregas en destino sufren retraso en el 10 %, el 5 % y el 7 % de los envíos, respectivamente.

a) Dibujar el correspondiente árbol de probabilidades. [0,5 puntos]

b) Hallar la probabilidad de que, en una determinada semana, los envíos se entreguen en destino sin retrasos. [1 punto]

c) Sabiendo que se ha producido retraso en la entrega en destino, ¿cuál es la probabilidad de que el envío se haya realizado por tren? [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Dibujar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{correspondiente}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rbol}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{probabilidades.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Nombramos los sucesos:

$C\equiv$ el envío se hace por carretera,
$T\equiv$ el envío se hace por tren,
$A\equiv$ el envío se hace por avión,
$R\equiv$ la entrega sufre retraso,
$\bar{R}\equiv$ la entrega se hace sin retraso.

Los tres medios de transporte forman un sistema completo de sucesos. Como carretera y tren se llevan el 42 % y el 47 % de los envíos, al avión le corresponde el resto:

$P(A)=1-\mathrm{0,42}-\mathrm{0,47}=\mathrm{0,11}$



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Hallar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{determinada}}\mathbf{\text{semana,}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{env}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{os}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{entreguen}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{destino}}\mathbf{\text{sin}}\mathbf{\text{retrasos.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Calculamos primero la probabilidad de retraso aplicando el teorema de la probabilidad total.

$P(R)=P(C)\cdot P(R\mathrm{/}C)+P(T)\cdot P(R\mathrm{/}T)+P(A)\cdot P(R\mathrm{/}A)$

$P(R)=\mathrm{0,42}\cdot \mathrm{0,10}+\mathrm{0,47}\cdot \mathrm{0,05}+\mathrm{0,11}\cdot \mathrm{0,07}$

$P(R)=\mathrm{0,042}+\mathrm{0,0235}+\mathrm{0,0077}=\mathrm{0,0732}$

El suceso pedido es el contrario.

$P(\bar{R})=1-P(R)=1-\mathrm{0,0732}=\mathrm{0,9268}$

La probabilidad de que la entrega se produzca sin retraso es $\mathrm{0,9268}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{producido}}\mathbf{\text{retraso}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{entrega}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{destino,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{env}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{realizado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{tren?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Es una probabilidad a posteriori: se aplica el teorema de Bayes.

$P(T\mathrm{/}R)={\displaystyle \frac{P(T)\cdot P(R\mathrm{/}T)}{P(R)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,47}\cdot \mathrm{0,05}}{\mathrm{0,0732}}}$

$P(T\mathrm{/}R)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,0235}}{\mathrm{0,0732}}}={\displaystyle \frac{235}{732}}\approx \mathrm{0,3210}$

Sabiendo que la entrega se ha retrasado, la probabilidad de que el envío se hiciera por tren es ${\displaystyle \frac{235}{732}}\approx \mathrm{0,3210}$.