Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

Dos agricultores de medianías producen manzanas de tres variedades: reineta, fuji y golden. De las manzanas producidas por el agricultor A, el 70 % son reinetas, el 20 % fuji y el resto golden; de las producidas por el agricultor B, un 50 % son reinetas, un 30 % golden y el resto fuji. Un supermercado de la zona vende manzanas solamente de estos agricultores. El 60 % de las manzanas las adquiere del agricultor A y el 40 % restante del B.

a) Dibuja el árbol de probabilidades correspondiente a la situación descrita. [0,5 puntos]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la manzana elegida al azar por un cliente sea de la variedad reineta? [1 punto]

c) Si la manzana elegida no es de la variedad reineta, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producida por el agricultor A? [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Dibuja}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rbol}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{probabilidades}}\mathbf{\text{correspondiente}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{situaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{descrita.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Nombramos los sucesos:

$A\equiv$ la manzana procede del agricultor A,
$B\equiv$ la manzana procede del agricultor B,
$R\equiv$ la manzana es de la variedad reineta,
$F\equiv$ la manzana es de la variedad fuji,
$G\equiv$ la manzana es de la variedad golden.

Los dos agricultores forman un sistema completo de sucesos, con $P(A)=\mathrm{0,6}$ y $P(B)=\mathrm{0,4}$. Las variedades que no da el enunciado se obtienen por diferencia: del agricultor A, $100-70-20=10$ % son golden; del B, $100-50-30=20$ % son fuji.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{manzana}}\mathbf{\text{elegida}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{cliente}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{variedad}}\mathbf{\text{reineta?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Aplicamos el teorema de la probabilidad total.

$P(R)=P(A)\cdot P(R\mathrm{/}A)+P(B)\cdot P(R\mathrm{/}B)$

$P(R)=\mathrm{0,6}\cdot \mathrm{0,7}+\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,5}=\mathrm{0,42}+\mathrm{0,2}=\mathrm{0,62}$

La probabilidad de que la manzana elegida sea reineta es $\mathrm{0,62}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{manzana}}\mathbf{\text{elegida}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{variedad}}\mathbf{\text{reineta,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{producida}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{agricultor}}\mathbf{\text{A?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Es una probabilidad a posteriori: se aplica el teorema de Bayes al suceso «no ser reineta».

$P(\bar{R})=1-P(R)=1-\mathrm{0,62}=\mathrm{0,38}P(\bar{R}\mathrm{/}A)=1-\mathrm{0,7}=\mathrm{0,3}$

$P(A\mathrm{/}\bar{R})={\displaystyle \frac{P(A)\cdot P(\bar{R}\mathrm{/}A)}{P(\bar{R})}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,6}\cdot \mathrm{0,3}}{\mathrm{0,38}}}$

$P(A\mathrm{/}\bar{R})={\displaystyle \frac{\mathrm{0,18}}{\mathrm{0,38}}}={\displaystyle \frac{9}{19}}\approx \mathrm{0,4737}$

Si la manzana no es reineta, la probabilidad de que proceda del agricultor A es ${\displaystyle \frac{9}{19}}\approx \mathrm{0,4737}$.