Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

PROBLEMA 5
En caso de elegir este problema hay que responder a uno de estos dos apartados: APARTADO 5.1 o APARTADO 5.2
APARTADO 5.1 [2,5 puntos]
En un determinado año, la nota de la Prueba para el Acceso a la Universidad, PAU, del alumnado que se ha preinscrito en el Grado en Arquitectura Técnica sigue una distribución normal de media 6,8 puntos y desviación típica 0,6 puntos.
Por otro lado, la nota del alumnado que se ha preinscrito en el Grado en Biomedical Engineering sigue una distribución normal de media 7 puntos y desviación típica 0,5 puntos.
En ambos casos solo se puede admitir al 25 % del alumnado preinscrito que tiene las mejores calificaciones. Si Yolanda ha obtenido una nota de 7,25 puntos y Teresa de 7,45 puntos, ¿a qué grados tendrán opción de acceso?

Se llama $X$ a la nota del alumnado preinscrito en Arquitectura Técnica y $Y$ a la del preinscrito en Biomedical Engineering.

$X\sim N(\mathrm{6,8};\mathrm{0,6});Y\sim N(7;\mathrm{0,5})$

Admitir al $25\mathrm{\%}$ con mejores calificaciones equivale a fijar una nota de corte que deje por encima ese $25\mathrm{\%}$, es decir, el tercer cuartil de cada distribución. Se busca primero el valor tipificado común a los dos grados.

$P(X>k)=\mathrm{0,25}\Rightarrow P(X\le k)=\mathrm{0,75}$

$P(Z\le {\displaystyle \frac{k-\mu }{\sigma }})=\mathrm{0,75}\Rightarrow \mathrm{\Phi }(z_0)=\mathrm{0,75}$

En la tabla de la $N(0,1)$ el valor más próximo a $\mathrm{0,75}$ es $\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,67})=\mathrm{0,7486}$, de modo que se toma $z_0=\mathrm{0,67}$.

i) Nota de corte del Grado en Arquitectura Técnica:

${\displaystyle \frac{k_X-\mathrm{6,8}}{\mathrm{0,6}}}=\mathrm{0,67}\Rightarrow k_X=\mathrm{6,8}+\mathrm{0,67}\cdot \mathrm{0,6}=\mathrm{6,8}+\mathrm{0,402}=\mathrm{7,202}$



ii) Nota de corte del Grado en Biomedical Engineering:

${\displaystyle \frac{k_Y-7}{\mathrm{0,5}}}=\mathrm{0,67}\Rightarrow k_Y=7+\mathrm{0,67}\cdot \mathrm{0,5}=7+\mathrm{0,335}=\mathrm{7,335}$



Ahora basta comparar cada nota con las dos notas de corte.

$\text{Yolanda}:\{\begin{array}{l}\mathrm{7,25}>\mathrm{7,202}\Rightarrow \text{accede a Arquitectura T}\acute{\text{e}}\text{cnica}\\ \mathrm{7,25}<\mathrm{7,335}\Rightarrow \text{ no accede a Biomedical Engineering}\end{array}$

$\text{Teresa}:\{\begin{array}{l}\mathrm{7,45}>\mathrm{7,202}\Rightarrow \text{accede a Arquitectura T}\acute{\text{e}}\text{cnica}\\ \mathrm{7,45}>\mathrm{7,335}\Rightarrow \text{ accede a Biomedical Engineering}\end{array}$

Yolanda tendrá opción de acceso solamente al Grado en Arquitectura Técnica, mientras que Teresa tendrá opción de acceso a los dos grados.