Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

Un centro deportivo tiene dos zonas: la zona de la piscina ($A_1$) y la zona del gimnasio ($A_2$). Los abonados han de elegir a cuál de las dos zonas (solo una) quieren acceder y también si quieren ir al centro deportivo en horario de mañana (opción $B_1$) o en horario de tarde (opción $B_2$).

Si seleccionamos un abonado del centro al azar, sabemos que la probabilidad de que utilice la zona de la piscina es de 0,4 y la probabilidad de que utilice el gimnasio es de 0,6. Por otra parte, la probabilidad de que esté abonado en horario de mañana, si sabemos que utiliza la zona de la piscina, es de 0,55, mientras que la probabilidad de que esté abonado en horario de mañana, si sabemos que utiliza el gimnasio, es de 0,45.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo esté abonado en horario de mañana? [1,25 puntos]

b) Si sabemos que está abonado en horario de mañana, ¿cuál es la probabilidad de que utilice la zona de piscina? [1,25 puntos]

Nombrando los sucesos:

$A_1\equiv$ el abonado utiliza la zona de la piscina

$A_2\equiv$ el abonado utiliza el gimnasio

$B_1\equiv$ el abonado está en horario de mañana

$B_2\equiv$ el abonado está en horario de tarde

Los datos del enunciado son $P(A_1)=\mathrm{0,4}$, $P(A_2)=\mathrm{0,6}$, $P(B_1\mathrm{/}{A}_1)=\mathrm{0,55}$ y $P(B_1\mathrm{/}{A}_2)=\mathrm{0,45}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{individuo}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{abonado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{horario}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ma}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{ana?}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Los sucesos $A_1$ y $A_2$ forman un sistema completo, porque cada abonado elige una zona y solo una. Hacemos un diagrama de árbol.



Aplicando el teorema de la probabilidad total:

$P(B_1)=P(A_1)P(B_1\mathrm{/}{A}_1)+P(A_2)P(B_1\mathrm{/}{A}_2)$

$P(B_1)=\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,55}+\mathrm{0,6}\cdot \mathrm{0,45}=\mathrm{0,22}+\mathrm{0,27}=\mathrm{0,49}$

La probabilidad de que el abonado elegido esté en horario de mañana es $\mathrm{0,49}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{sabemos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{abonado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{horario}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ma}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{ana,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{utilice}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{zona}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{piscina?}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Es una probabilidad a posteriori: se conoce el efecto (el horario) y se pregunta por la causa (la zona). Utilizamos el teorema de Bayes.

$P(A_1\mathrm{/}{B}_1)={\displaystyle \frac{P(A_1)P(B_1\mathrm{/}{A}_1)}{P(B_1)}}$

$P(A_1\mathrm{/}{B}_1)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,55}}{\mathrm{0,49}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,22}}{\mathrm{0,49}}}={\displaystyle \frac{22}{49}}\approx \mathrm{0,4490}$

Sabiendo que el abonado está en horario de mañana, la probabilidad de que utilice la zona de la piscina es $\frac{22}{49}\approx \mathrm{0,4490}$.